En un point régulier d'une surface lisse, la moyenne arithmétique H=(k1+k2)/2 des deux courbures principales ; une mesure extrinsèque du pli local liée à la variation de la normale de la surface.

Principe

La courbure moyenne apparaît comme la première variation de l'aire : au premier ordre, déplacer la surface le long de la normale modifie l'aire proportionnellement à H, de sorte que H=0 caractérise les surfaces stationnaires d'aire (minimales).

Démonstration

Une sphère de rayon R a k1=k2=1/R donc H=1/R ; une surface minimale comme une caténoïde ou un film de savon local satisfait H=0 en chaque point.

Mauvaise application

Employer la courbure moyenne comme un invariant intrinsèque ou la confondre avec la courbure gaussienne ; ignorer le signe d'orientation qui fait changer H si la normale unitaire est inversée.

Conséquence

La courbure moyenne gouverne les équilibres physiques d'interfaces (films de savon, capillarité) et entraîne des écoulements géométriques (flux de courbure moyenne) qui lissent les formes vers des configurations d'aire plus faible.

Inversion

Remplacer la moyenne par un produit donne la courbure gaussienne ; passer à la courbure normale dans une direction extrait le pli directionnel plutôt que la variation normale moyenne.

Limite

Définie pour des surfaces régulières lisses avec une normale unitaire choisie ; non définie aux singularités ni sur des surfaces non orientables sans normale cohérente. Les conventions de signe varient selon les auteurs.

Tension sémantique

Existe une tension entre la signification extrinsèque (dépend de l'immersion et de la normale choisie) et son rôle variationnel (dérivée fonctionnelle de l'aire) ; il faut distinguer le rôle géométrique de l'interprétation physique.

Synthèse

La courbure moyenne est la moyenne des courbures principales en un point, un scalaire extrinsèque mesurant le pli normal qui commande la variation d'aire, les formes d'équilibre physique et les dynamiques de lissage.