An einem regulären Punkt einer glatten Fläche der arithmetische Mittelwert H=(k1+k2)/2 der beiden Hauptkrümmungen; ein extrinsisches Maß lokaler Biegung, verbunden mit der Änderung der Flächennormale.

Prinzip

Die mittlere Krümmung tritt als erste Variation der Flächenfläche auf: in erster Ordnung ändert eine Verschiebung der Fläche entlang der Normalen die Fläche proportional zu H, daher kennzeichnet H=0 stationäre Flächen (Minimale Flächen).

Demonstration

Bei einer Kugel mit Radius R gilt k1=k2=1/R, also H=1/R; eine Minimalfläche wie die Katenoide oder ein Seifenfilm hat H=0 an jedem Punkt.

Fehlanwendung

Die mittlere Krümmung als intrinsisches Invariant zu verwenden oder mit der Gaußschen Krümmung zu verwechseln; das Vorzeichen der Normalen zu ignorieren, wodurch H sein Vorzeichen ändert.

Konsequenz

Die mittlere Krümmung bestimmt physikalische Gleichgewichte von Grenzflächen (Seifenfilme, Kapillarität) und treibt geometrische Flüsse (Mean-Curvature-Flow), die Formen in Richtung geringer Fläche glätten.

Umkehrung

Beim Ersetzen der Mittelung durch Multiplikation erhält man die Gaußsche Krümmung; die Betrachtung der Normalkrümmung in einer Richtung liefert gerichtete Biegungsinformationen statt der gemittelten Normalenvariation.

Abgrenzung

Definiert für glatte reguläre Flächen mit festgelegter Einheitsnormalen; nicht definiert an Singularitäten oder auf nicht-orientierbaren Flächen ohne konsistente Normale. Vorzeichenkonventionen variieren.

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen der extrinsischen Bedeutung (abhängig von der Einbettung und der gewählten Normalen) und ihrer variationellen Rolle (Variation der Flächenfläche); man muss den geometrischen vom physikalischen Sinn unterscheiden.

Synthese

Die mittlere Krümmung ist der Durchschnitt der Hauptkrümmungen an einem Punkt, ein extrinsisches Skalar, das die normale Biegung misst und die Flächenvariation, Gleichgewichtszustände und Glättungsdynamiken bestimmt.