En un punto regular de una superficie suave, la media aritmética H=(k1+k2)/2 de las dos curvaturas principales; una medida extrínseca del doblado local ligada a la variación de la normal de la superficie.

Principio

La curvatura media aparece como la primera variación del área: en primer orden, desplazar la superficie a lo largo de su normal cambia el área proporcionalmente a H, por lo que H=0 caracteriza superficies estacionarias de área (mínimas).

Demostración

Una esfera de radio R tiene k1=k2=1/R por tanto H=1/R; una superficie mínima como la catenoide o un parche de película de jabón satisface H=0 en cada punto.

Aplicación incorrecta

Usar la curvatura media como un invariante intrínseco o confundir H con la curvatura gaussiana; ignorar el signo de la orientación, que hace que H cambie de signo si se invierte la normal unitaria.

Consecuencia

La curvatura media gobierna equilibrios físicos de interfaces (películas de jabón, capilaridad) y impulsa flujos geométricos (flujo de curvatura media) que suavizan las formas hacia configuraciones de menor área.

Inversión

Sustituir el promedio por el producto da la curvatura gaussiana; pasar a la curvatura normal en una dirección extrae el doblado direccional en vez de la variación normal promediada.

Límite

Definida para superficies regulares suaves con una normal unitaria elegida; no definida en singularidades ni en superficies no orientables sin normal coherente. Las convenciones de signo varían entre autores.

Tensión semántica

Existe tensión entre el significado extrínseco (depende de la inmersión y la normal elegida) y su papel variacional (derivada funcional del área); hay que distinguir el papel geométrico de la interpretación física.

Síntesis

La curvatura media es el promedio de las curvaturas principales en un punto, un escalar extrínseco que mide el doblado normal y dicta la variación del área, las formas de equilibrio físico y las dinámicas de alisado.