En un point régulier d'une surface lisse, le produit des deux courbures principales k1 et k2 ; une mesure intrinsèque de la déformation de la surface qui dépend seulement de la première forme fondamentale et non de l'immersion dans l'espace.

Principe

La géométrie intrinsèque d'une surface détermine la courbure gaussienne : les données métriques locales (longueurs et angles) fixent K, donc K est invariante par isométries de la surface.

Démonstration

Pour une sphère de rayon R, k1=k2=1/R donc K=1/R^2 ; pour un plan K=0 ; pour un point selle comme une paraboloïde hyperbolique on a k1>0, k2<0 et K<0.

Mauvaise application

Considérer la courbure gaussienne comme la moyenne arithmétique des courbures principales ou comme une mesure extrinsèque de pliage variant lors d'un pliage sans déformation ; confondre les conventions de signe sans préciser l'orientation.

Conséquence

La courbure gaussienne gouverne des phénomènes géométriques locaux tels que le comportement des géodésiques, la distortion des aires et, via des formules intégrales, des invariants topologiques globaux ; elle indique si les voisinages sont de type sphérique, plats ou en selle.

Inversion

Adopter un point de vue extrinsèque conduit à la courbure moyenne ou aux courbures normales ; inverser le concept aboutit à des quantités dépendant de la position de la surface dans l'espace plutôt que de sa métrique.

Limite

Définie aux points réguliers (deux fois différentiables) d'une surface bidimensionnelle ; non définie aux arêtes, aux angles ou pour des ensembles non différentiables. Pour des variétés de dimension supérieure on utilise la courbure sectionnelle ou de Ricci.

Tension sémantique

Usages concurrents insistent sur l'intrinsèque versus l'extrinsèque ; certains traités confondent les signes ou définissent la courbure via les courbures principales alors que d'autres la donnent par des formules métriques — la tension réside entre invariant métrique sans coordonnées et mesures dépendant de l'immersion.

Synthèse

La courbure gaussienne est le scalaire intrinsèque obtenu en multipliant les courbures principales en un point lisse ; elle résume le pli local de la métrique et prédit si les voisinages sont localement sphériques, plats ou en selle.