En un punto regular de una superficie suave, el producto de las dos curvaturas principales k1 y k2; una medida intrínseca de la curvatura de la superficie que depende únicamente de la primera forma fundamental y no de la inmersión en el espacio.

Principio

La geometría intrínseca de una superficie determina la curvatura gaussiana: los datos métricos locales (longitudes y ángulos) fijan K, de modo que K es invariante frente a isometrías de la superficie.

Demostración

Para una esfera de radio R, k1=k2=1/R por tanto K=1/R^2; para un plano K=0; en un punto de silla como una paraboloide hiperbólico k1>0, k2<0 y K<0.

Aplicación incorrecta

Tratar la curvatura gaussiana como la media aritmética de las curvaturas principales o como una medida extrínseca que cambia al doblar la superficie sin estirarla; confundir convenciones de signo sin indicar la orientación.

Consecuencia

La curvatura gaussiana controla fenómenos geométricos locales como el comportamiento de las geodésicas, la distorsión de áreas y, mediante fórmulas integrales, invariantes topológicos globales; determina si vecindades son de tipo esférico, planas o en silla.

Inversión

Cambiar a un punto de vista extrínseco produce información como la curvatura media o curvaturas normales; la inversión del concepto conduce a cantidades que dependen de cómo se sitúa la superficie en el espacio en vez de solo de su métrica.

Límite

Definida en puntos regulares (dos veces diferenciables) de una superficie bidimensional; no definida en esquinas, aristas o conjuntos no diferenciables. Para variedades de mayor dimensión se usan curvaturas seccionales o de Ricci.

Tensión semántica

Hay una tensión entre usos que enfatizan lo intrínseco frente a lo extrínseco; algunos textos confunden signos o definen K por las curvaturas principales mientras otros la expresan por fórmulas métricas — la tensión es entre invariante métrico sin coordenadas y medidas dependientes de la inmersión.

Síntesis

La curvatura gaussiana es el escalar intrínseco formado por el producto de las curvaturas principales en un punto liso; resume el doblado métrico local y predice si las vecindades son localmente esféricas, planas o en forma de silla.