An einem regulären Punkt einer glatten Oberfläche das Produkt der beiden Hauptkrümmungen k1 und k2; ein intrinsisches Maß der Krümmung der Oberfläche, das nur von der ersten Fundamentalen Form abhängt und nicht von der Einbettung im Raum.

Prinzip

Die intrinsische Geometrie einer Fläche bestimmt die Gaußsche Krümmung: lokale metrische Daten (Längen und Winkel) legen K fest, K ist unter Isometrien der Fläche invariant.

Demonstration

Bei einer Kugel mit Radius R gilt k1=k2=1/R, also K=1/R^2; bei einer Ebene ist K=0; an einem Sattelpunkt wie einer hyperbolischen Paraboloid sind k1>0, k2<0 und damit K<0.

Fehlanwendung

Die Gaußsche Krümmung als arithmetisches Mittel der Hauptkrümmungen zu behandeln oder als extrinsisches Biegemaß, das sich bei Biegungen ohne Dehnung ändert; Vorzeichenkonventionen ohne Orientierung anzugeben.

Konsequenz

Die Gaußsche Krümmung steuert lokale geometrische Phänomene wie das Verhalten von Geodäten, Flächenverzerrung und über Integralsätze globale topologische Invarianten; sie entscheidet, ob Umgebungen kugelähnlich, flach oder sattelförmig sind.

Umkehrung

Ausgetauscht gegen eine extrinsische Sichtweise ergibt sich mittlere Krümmung oder Normalkrümmung; die Umkehrung führt zu Größen, die von der Lage der Fläche im Raum abhängen statt nur von ihrer Metrik.

Abgrenzung

Definiert an regulären (zweimal differenzierbaren) Punkten einer zweidimensionalen Fläche; nicht definiert an Ecken, Kanten oder nicht differenzierbaren Mengen. Für höherdimensionale Mannigfaltigkeiten verwendet man Schnitt- oder Ricci-Krümmung.

Semantische Spannung

Konkurrenz besteht zwischen intrinsischer und extrinsischer Deutung; einige Quellen vermischen Vorzeichen oder definieren K über Hauptkrümmungen, andere über Metrikformeln — die Spannung liegt zwischen koordinatenfreiem Metrikinvariant und einbettungsabhängigen Maßen.

Synthese

Die Gaußsche Krümmung ist das intrinsische Skalar, erhalten als Produkt der Hauptkrümmungen an einem glatten Punkt; sie fasst das lokale metrische Biegen zusammen und sagt voraus, ob Umgebungen kugel-, flach- oder sattelförmig sind.