Une règle pour déplacer des vecteurs tangents le long d’une courbe dans une variété différentiable de sorte que leur dérivée covariante le long de la courbe soit nulle relativement à une connexion affine choisie ; elle permet de comparer des vecteurs en des points distincts selon la prescription de la connexion.

Principe

Conserver la dérivée directionnelle définie par la connexion : un champ de vecteurs le long d’une courbe est transporté parallèlement si sa dérivée covariante le long de la courbe s’annule, assurant l’absence de 'torsion' intrinsèque par rapport à la connexion en déplaçant le vecteur.

Démonstration

Sur la sphère unité munie de la connexion de Levi‑Civita, transporter un vecteur tangent autour d’un triangle fermé constitué d’arcs de grand cercle ; le vecteur final diffère en général du vecteur initial, révélant l’holonomie liée à l’aire incluse.

Mauvaise application

Supposer que le transport parallèle est indépendant du chemin dans une variété courbée ; sauf pour les connexions plates, transporter le long de deux courbes différentes entre les mêmes points peut donner des vecteurs finals distincts.

Conséquence

Définit les phénomènes d’holonomie et de courbure : un transport parallèle non trivial autour de boucles encode l’information de courbure et engendre des phases géométriques en physique et en géométrie différentielle.

Inversion

Inverser le sens de la courbe inverse l’application de transport le long de cette courbe ; composer le transport le long d’une courbe puis le long de sa réciproque donne l’identité lorsque la même connexion est utilisée.

Limite

Dépend d’une connexion choisie et s’applique aux fibrés tangents (ou fibrés associés) sur des variétés différentiables ; exclut les prescriptions arbitraires qui ne découlent pas d’une connexion et les cas sans structure lisse ou sans connexion définie.

Tension sémantique

Lié à la 'dérivée covariante' (opérateur différentiel local) et à la 'parallélisme' (notion globale) ; le transport parallèle est la réalisation intégrée et dépendante du chemin de la dérivée covariante, distinct de la constance coordonnée naïve ou de la translation euclidienne.

Synthèse

Le transport parallèle est la procédure gouvernée par la connexion qui propage les vecteurs le long de courbes avec dérivée covariante nulle, faisant apparaître la courbure de la variété par la dépendance au chemin et l’holonomie.