Una regla para desplazar vectores tangentes a lo largo de una curva en una variedad diferenciable de manera que su derivada covariante a lo largo de la curva sea cero con respecto a una conexión afín elegida; proporciona un modo de comparar vectores en puntos distintos siguiendo la indicación de la conexión.

Principio

Conservar la derivada direccional definida por la conexión: un campo de vectores a lo largo de una curva se transporta paralelamente si su derivada covariante a lo largo de la curva se anula, evitando un 'giro' intrínseco respecto a la conexión al mover el vector.

Demostración

En la esfera con la conexión de Levi‑Civita de la métrica estándar, transportar un vector tangente alrededor de un triángulo cerrado formado por arcos de gran círculo; el vector final suele diferir del inicial, mostrando holonomía relacionada con el área encerrada.

Aplicación incorrecta

Suponer que el transporte paralelo es independiente del camino en variedades curvas; salvo en conexiones planas, transportar por dos curvas diferentes entre los mismos puntos puede producir vectores finales distintos.

Consecuencia

Define fenómenos de holonomía y curvatura: un transporte paralelo no trivial alrededor de bucles codifica información de curvatura y produce fases geométricas en física y geometría diferencial.

Inversión

Invertir la dirección de la curva invierte la aplicación de transporte a lo largo de esa curva; componer el transporte a lo largo de una curva con el transporte por su reversa da la identidad cuando se usa la misma conexión.

Límite

Depende de una conexión elegida y se aplica a los fibrados tangentes (o fibrados asociados) sobre variedades diferenciables; excluye prescripciones arbitrarias que no procedan de una conexión y casos sin estructura suave o sin conexión definida.

Tensión semántica

Relacionado con 'derivada covariante' (operador diferencial local) y 'paralelismo' (noción global); el transporte paralelo es la realización integrada, dependiente del camino, de la derivada covariante, y difiere de la constancia ingenua en coordenadas o de la traslación euclidiana.

Síntesis

El transporte paralelo es el procedimiento dictado por una conexión que lleva vectores a lo largo de curvas con derivada covariante nula, haciendo manifiesta la curvatura de la variedad mediante la dependencia del camino y la holonomía.