Eine Regel, Tangentenvektoren entlang einer Kurve in einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit so zu verschieben, dass ihre kovariante Ableitung entlang der Kurve bezüglich einer gewählten affinen Verbindung verschwindet; sie ermöglicht es, Vektoren an verschiedenen Punkten anhand der Vorschrift der Verbindung zu vergleichen.

Prinzip

Die von der Verbindung definierte Richtungsableitung erhalten: Ein Vektorfeld entlang einer Kurve ist paralleltransportiert, wenn seine kovariante Ableitung entlang der Kurve null ist, wodurch kein inneres 'Verdrehen' relativ zur Verbindung beim Mitführen auftritt.

Demonstration

Auf der zweidimensionalen Kugel mit der Levi‑Civita‑Verbindung des runden Metrik, einen Tangentenvektor entlang eines geschlossenen Dreiecks aus Großkreisbögen transportieren; der Endvektor weicht üblicherweise vom Anfangsvektor ab, was Holonomie in Bezug auf die eingeschlossene Fläche zeigt.

Fehlanwendung

Anzunehmen, Paralleltransport sei in gekrümmten Mannigfaltigkeiten wegunabhängig; außer bei flachen Verbindungen kann das Transportieren entlang unterschiedlicher Kurven zwischen denselben Endpunkten zu verschiedenen Ergebnissen führen.

Konsequenz

Definiert Holonomie‑ und Krümmungsphänomene: Nichttrivialer Paralleltransport um Schleifen kodiert Krümmungsinformationen und führt zu geometrischen Phasen in Physik und Differentialgeometrie.

Umkehrung

Die Richtung der Kurve umkehren kehrt die Transportabbildung um; die Zusammensetzung von Transport entlang einer Kurve mit dem Transport entlang ihrer Umkehrung ergibt die Identität bei Verwendung derselben Verbindung.

Abgrenzung

Hängt von einer gewählten Verbindung ab und gilt für Tangential‑ oder zugehörige Vektorbündel über differenzierbaren Mannigfaltigkeiten; schließt beliebige Vorschriften aus, die nicht aus einer Verbindung folgen, sowie Fälle ohne glatte Struktur oder ohne definierte Verbindung.

Semantische Spannung

Eng verwandt mit 'kovariater Ableitung' (lokaler Differentialoperator) und 'Parallelismus' (globaler Begriff); Paralleltransport ist die integrierte, wegbasierte Realisierung der kovarianten Ableitung, unterscheidet sich jedoch von naiver koordinierten Konstanz oder euklidischer Translation.

Synthese

Paralleltransport ist das von der Verbindung bestimmte Verfahren, Vektoren entlang von Kurven mit verschwindender kovarianter Ableitung zu führen, wobei die Krümmung der Mannigfaltigkeit durch Wegabhängigkeit und Holonomie sichtbar wird.