Une isométrie de l'espace euclidien réalisable comme composition de rotations et de translations, et selon la convention éventuellement de réflexions, qui préserve la forme et la taille des figures.

Principe

Les mouvements rigides préservent toutes les distances par paires et (si l'on exclut les réflexions) l'orientation ; dans l'espace euclidien de dimension n ils forment le groupe euclidien spécial SE(n) pour les transformations préservant l'orientation, et le groupe euclidien complet E(n) si les réflexions sont autorisées.

Démonstration

Déplacer un solide dans R^3 en le faisant tourner autour d'un axe puis en le traduisant aboutit à un positionnement congruent — l'application est un mouvement rigide qui préserve les distances entre points et les angles à l'intérieur de l'objet.

Mauvaise application

Appliquer une homothétie uniforme ou non uniforme, fléchir ou cisailler un objet n'est pas un mouvement rigide ; considérer comme mouvement rigide toute application préservant les distances dans une métrique non euclidienne est une erreur de catégorie.

Conséquence

Les mouvements rigides préservent la congruence : deux figures liées par un mouvement rigide sont congruentes. Ils engendrent les groupes de symétrie des corps rigides et fondent les notions de rigidité mécanique et de mouvements cinématiques admissibles en mécanique du solide rigide.

Inversion

Les opérations opposées sont les déformations qui modifient les distances internes (changements élastiques ou plastiques) ou les transformations affines qui altèrent angles ou parallélisme ; l'inverse d'un mouvement rigide est un autre mouvement rigide (rotation et translation inverses).

Limite

Le terme s'applique aux espaces affines euclidiens et à leurs métriques standard induites par le produit scalaire ; dans les espaces courbes (riemanniens) des isométries locales peuvent jouer un rôle analogue mais des mouvements rigides globaux en tant qu'éléments de groupe peuvent ne pas exister ; exclut toute application modifiant les distances.

Tension sémantique

Chevauchement avec le terme isométrie (isométrie est plus général et s'applique à des espaces métriques arbitraires) et avec « mouvement euclidien » qui est parfois entendu comme excluant les réflexions ; contraste aussi avec la notion physique d'un corps rigide qui inclut masse et inertie au-delà de la géométrie pure.

Synthèse

Un mouvement rigide est une transformation euclidienne préservant les distances réalisable par rotations et translations (et éventuellement réflexions), l'opération géométrique qui déplace congrument sans déformation.