Une application entre espaces métriques qui conserve exactement les distances : pour tous x,y, d(f(x),f(y)) = d(x,y). Dans les espaces euclidiens, les isométries sont des transformations qui préservent la géométrie comme translations, rotations et réflexions.

Principe

Les isométries commutent avec la métrique : ce sont des fonctions préservant les distances et donc les notions métriques telles que boules ouvertes, complétude et suites de Cauchy ; elles sont souvent injectives et, quand elles sont bijectives, des isomorphismes métriques.

Démonstration

Dans R^3 une rotation autour d'un axe passant par l'origine est une isométrie : elle conserve les distances euclidiennes par paires tout en déplaçant les points sur des trajectoires circulaires ; de même, la réflexion par rapport à un plan est une isométrie qui inverse l'orientation.

Mauvaise application

Préserver certaines distances mais pas toutes (par exemple seulement les distances à un point donné) n'est pas une isométrie ; le facteur d'échelle ≠1 ou un cisaillement ne constituent pas des isométries.

Conséquence

Toutes les relations métriques sont invariantes par isométrie ; toute affirmation géométrique formulée uniquement en termes de distances reste valable après application d'une isométrie ; les groupes d'isométries organisent les symétries d'un espace.

Inversion

Le comportement opposé est celui des contractions ou dilatations qui contractent ou dilatent uniformément les distances ; les applications conservant les angles mais pas les distances (maps conformes) sont distinctes.

Limite

Les isométries sont définies pour des espaces métriques arbitraires, pas uniquement euclidiens ; elles n'ont pas besoin d'être surjectives sauf si l'on précise (alors on parle d'isométrie surjective ou d'isomorphisme métrique). Des analogues en algèbre linéaire incluent les opérateurs orthogonaux ou unitaires qui préservent le produit scalaire et donc la norme induite.

Tension sémantique

La confusion survient entre isométrie et congruence en géométrie (la congruence implique souvent une isométrie de l'espace ambiant) et entre isométries et applications linéaires préservant le produit scalaire dans les espaces vectoriels (distinctions liées au contexte).

Synthèse

Une isométrie est une application préservant les distances entre espaces métriques : la notion structurelle qui maintient exactement les relations métriques et formalise ainsi l'identité géométrique.