Una aplicación entre espacios métricos que preserva exactamente las distancias: para todos x,y se cumple d(f(x),f(y)) = d(x,y). En espacios euclidianos las isometrías son transformaciones que conservan la geometría como traslaciones, rotaciones y reflexiones.

Principio

Las isometrías conmutan con la métrica: son funciones que preservan distancias y por tanto conservan nociones métricas como bolas abiertas, completitud y sucesiones de Cauchy; en muchos contextos son inyectivas y, si son biyectivas, son isomorfismos métricos.

Demostración

En R^3 una rotación alrededor de un eje por el origen es una isometría: mantiene las distancias euclidianas por pares mientras desplaza puntos sobre trayectorias circulares; asimismo, las reflexiones en un plano son isometrías que invierten la orientación.

Aplicación incorrecta

Preservar algunas distancias pero no todas (por ejemplo sólo distancias a un punto) no es una isometría; escalar por un factor ≠1 o aplicar un corte no produce una isometría.

Consecuencia

Todas las relaciones métricas son invariantes bajo isometría; una afirmación geométrica formulada sólo en términos de distancias sigue siendo válida tras aplicar una isometría; los grupos de isometrías organizan las simetrías de un espacio.

Inversión

El comportamiento opuesto son las contracciones o dilataciones que contraen o dilatan uniformemente las distancias; las aplicaciones que preservan ángulos pero no distancias (mapas conformes) son distintas.

Límite

Las isometrías están definidas para espacios métricos arbitrarios, no sólo euclidianos; no tienen por qué ser sobreyectivas salvo que se precise (entonces se llaman isometrías sobreyectivas o isomorfismos métricos). Análogos en álgebra lineal son los operadores ortogonales o unitarios que preservan el producto interior y por tanto la norma inducida.

Tensión semántica

Aparecen confusiones entre isometría y congruencia en geometría (la congruencia suele implicar una isometría del espacio ambiente) y entre isometrías y aplicaciones lineales que preservan el producto interior (distinciones dependientes del contexto).

Síntesis

Una isometría es cualquier aplicación que preserva distancias entre espacios métricos: la noción estructural que mantiene exactamente las relaciones métricas y formaliza la identidad geométrica.