Eine Abbildung zwischen metrischen Räumen, die Distanzen exakt erhält: für alle x,y gilt d(f(x),f(y)) = d(x,y). Im euklidischen Raum sind Isometrien geometrieerhaltende Abbildungen wie Verschiebungen, Rotationen und Spiegelungen.

Prinzip

Isometrien kommutieren mit der Metrik: sie sind distanzerhaltende Funktionen und bewahren damit metrische Begriffe wie offene Kugeln, Vollständigkeit und Cauchy-Folgen; in vielen Kontexten sind sie injektiv und im bijektiven Fall metrische Isomorphismen.

Demonstration

In R^3 ist eine Rotation um eine Achse durch den Ursprung eine Isometrie: sie lässt paarweise euklidische Abstände unverändert und bewegt Punkte auf kreisförmigen Bahnen; ebenso sind Spiegelungen an Ebenen Isometrien, die die Orientierung umkehren.

Fehlanwendung

Nur einige Distanzen zu erhalten, aber nicht alle (z. B. nur Abstände zu einem Punkt), ist keine Isometrie; Skalierung mit Faktor ≠1 oder Scherung ist nicht isometrisch.

Konsequenz

Alle metrischen Relationen sind unter Isometrie invariant; geometrische Aussagen, die allein in Distanzbegriffen formuliert sind, bleiben nach Anwenden einer Isometrie gültig; Isometriegruppen ordnen die Symmetrien eines Raums.

Umkehrung

Das entgegengesetzte Verhalten sind Kontraktionen oder Dilatationen, die Distanzen einheitlich verkleinern oder vergrößern; Abbildungen, die Winkel aber nicht Distanzen erhalten (konforme Abbildungen), sind verschieden.

Abgrenzung

Isometrien sind für beliebige metrische Räume definiert, nicht nur für euklidische; sie müssen nicht surjektiv sein, außer dies wird verlangt (dann spricht man von surjektiven Isometrien oder metrischen Isomorphismen). In der linearen Algebra entsprechen orthogonale bzw. unitäre Operatoren, die das Skalarprodukt und damit die induzierte Norm erhalten.

Semantische Spannung

Verwechslungen treten zwischen Isometrie und Kongruenz in der Geometrie auf (Kongruenz bedeutet oft eine Isometrie des umgebenden Raums) und zwischen Isometrien und innerprodukt-erhaltenden linearen Abbildungen (kontextabhängige Unterschiede).

Synthese

Eine Isometrie ist eine beliebige distanzerhaltende Abbildung metrischer Räume: das strukturelle Konzept, das metrische Relationen exakt bewahrt und geometrische Gleichheit formalisiert.