Une application obtenue en composant rotations, translations, réflexions et homothéties uniformes qui préserve les angles et les rapports de longueurs entre segments, produisant des figures géométriquement semblables.

Principe

Une similitude est une composition affine d'une isométrie et d'une homothétie : f = s ∘ g où g est une isométrie et s une homothétie. Elle préserve les angles et multiplie toutes les distances par un facteur commun |k| (à un signe d'orientation près).

Démonstration

On envoie un triangle sur un triangle semblable en le dilatant par k=3 autour de son centroïde puis en le traduisant et le faisant tourner pour aligner les sommets correspondants ; toutes les mesures d'angle restent identiques tandis que les longueurs des côtés sont triplées.

Mauvaise application

Appliquer une mise à l'échelle non uniforme (dépendant de la direction) ou un cisaillement produit une image affine qui ne préserve ni les angles ni les rapports de longueurs ; confondre cartes conformes (préservation locale des angles) et similitudes globales est source d'erreur.

Conséquence

Les formes sont conservées à l'échelle et par isométrie ; les angles correspondants sont égaux et les rapports des longueurs correspondantes sont constants ; la similitude définit des classes d'équivalence de figures par mise à l'échelle et isométrie.

Inversion

L'inverse d'une similitude de facteur non nul est une similitude de facteur réciproque combinée à l'isométrie inverse ; un facteur négatif inverse l'orientation en plus d'effectuer la mise à l'échelle.

Limite

Les transformations par similitude forment le groupe de similitudes de l'espace euclidien ; elles excluent les transformations projectives et les applications affines générales à partie linéaire anisotrope ; les applications conformes en dimensions supérieures ne sont pas nécessairement des similitudes globales.

Tension sémantique

Souvent confondue avec les transformations conformes (qui préservent les angles mais pas forcément les rapports globaux) et avec la similarité de matrices en algèbre linéaire (concept de conjugaison non lié).

Synthèse

La transformation par similitude regroupe les applications euclidiennes qui combinent mouvement rigide et mise à l'échelle uniforme pour produire des figures identiques sur le plan géométrique à un facteur d'échelle près.