Una aplicación obtenida al componer rotaciones, traslaciones, reflexiones y escalados uniformes (homotecias) que preserva ángulos y razones de longitudes entre segmentos, produciendo figuras geométricamente semejantes.

Principio

Una similitud es la composición de una isometría y una homotecia: f = s ∘ g donde g es una isometría y s una homotecia. Conserva ángulos y multiplica todas las distancias por un factor común |k| (hasta el signo de la orientación).

Demostración

Enviar un triángulo a uno semejante escalando por k=3 alrededor de su centroide y luego trasladando y rotando para alinear vértices correspondientes; todas las medidas de ángulo permanecen iguales mientras los lados se triplican.

Aplicación incorrecta

Aplicar un escalado no uniforme (dependiente de la dirección) o un corte (shear) produce una imagen afín que no preserva ángulos ni razones de longitudes; confundir mapas conformes (preservan ángulos localmente) con similitudes globales puede inducir a error.

Consecuencia

Las formas se conservan salvo por escala e isometría; los ángulos correspondientes son iguales y las razones de longitudes correspondientes son constantes; la similitud define clases de equivalencia de figuras bajo escalado e isometría.

Inversión

La inversa de una similitud con factor no nulo es una similitud con factor recíproco combinada con la isometría inversa; un factor negativo invierte la orientación además de escalar.

Límite

Las transformaciones por similitud forman el grupo de similitudes del espacio euclidiano; excluyen transformaciones proyectivas y aplicaciones afines generales con parte lineal anisótropa; los mapas conformes en dimensiones superiores no son necesariamente similitudes globales.

Tensión semántica

Frecuentemente se confunde con transformaciones conformes (que preservan ángulos pero no necesariamente razones globales) y con la similaridad de matrices en álgebra lineal (concepto no relacionado de conjugación).

Síntesis

Una transformación por similitud es el conjunto de mapeos euclidianos que combinan movimiento rígido y escalado uniforme para producir figuras que son geométricamente iguales salvo por una escala común.