Eine Abbildung, die durch Komposition von Rotationen, Translationen, Spiegelungen und einheitlichen Skalierungen (Homothetien) entsteht und Winkel sowie Längenverhältnisse zwischen Strecken erhält; sie erzeugt geometrisch ähnliche Figuren.

Prinzip

Eine Ähnlichkeit ist die Zusammensetzung einer Isometrie mit einer einheitlichen Skalierung: f = s ∘ g, wobei g eine Isometrie und s eine Homothetie ist. Sie erhält Winkel und multipliziert alle Abstände mit einem gemeinsamen positiven Faktor |k| (bis auf das Vorzeichen der Orientierung).

Demonstration

Ein Dreieck wird zu einem ähnlichen Dreieck abgebildet, indem man um den Schwerpunkt mit k=3 skaliert und anschließend übersetzt und rotiert, um entsprechende Eckpunkte auszurichten; alle Winkelmaße bleiben gleich, während die Seitenlängen verdreifacht werden.

Fehlanwendung

Anwendung nichtuniformer (richtungsabhängiger) Skalierung oder Scherung erzeugt ein affin verzerrtes Bild, das weder Winkel noch Längenverhältnisse erhält; Konfusion mit konformen Abbildungen (lokale Winkelerhaltung) ist irreführend.

Konsequenz

Formen werden bis auf Maßstab und Isometrie erhalten; entsprechende Winkel sind gleich und Verhältnisse entsprechender Seitenlängen konstant; Ähnlichkeit bildet Äquivalenzklassen von Figuren unter Skalierung und Isometrie.

Umkehrung

Die Inverse einer Ähnlichkeit mit nichtnuller Skala ist eine Ähnlichkeit mit dem reziproken Faktor kombiniert mit der inversen Isometrie; ein negatives k kehrt die Orientierung und skaliert zugleich.

Abgrenzung

Ähnlichkeitstransformationen bilden die Ähnlichkeitsgruppe des euklidischen Raums; sie schließen projektive Transformationen und allgemeine affine Abbildungen mit anisotroper Linearität aus; konforme Abbildungen in höheren Dimensionen sind nicht zwangsläufig globale Ähnlichkeiten.

Semantische Spannung

Wird häufig mit konformen Transformationen verwechselt (die Winkel erhalten, aber nicht unbedingt globale Verhältnisse) und mit Matrizensimilarität in der linearen Algebra (ein anderes Konzept der Konjugation).

Synthese

Eine Ähnlichkeitstransformation ist die Klasse euklidischer Abbildungen, die starre Bewegung und einheitliche Skalierung kombinieren, sodass Figuren bis auf einen gemeinsamen Maßstab geometrisch gleich sind.