Une transformation par similitude centrée qui envoie chaque point sur le même rayon issu du centre en multipliant les distances au centre par un facteur d'échelle uniforme k (facteur de dilation).

Principe

Les vecteurs de position relatifs au centre O sont mis à l'échelle : pour le centre O et le facteur k, P ↦ O + k·(P−O). L'application préserve la collinéarité et les angles tout en multipliant les longueurs par |k|.

Démonstration

Dans le plan, avec centre O=(0,0) et k=2, l'homothétie envoie P=(x,y) sur P'=(2x,2y), doublant les distances à O et produisant une figure semblable deux fois plus grande centrée en O.

Mauvaise application

Employer des facteurs d'échelle différents selon les directions (mise à l'échelle anisotrope), changer le centre selon le point ou confondre k=0 avec une non-transformation ; oublier qu'un k négatif renverse l'orientation et place les images sur le rayon opposé.

Conséquence

Les angles sont conservés et les rapports de longueurs le long de tout rayon issu du centre sont multipliés par k ; les droites ne passant pas par le centre deviennent des droites parallèles, celles passant par le centre sont inchangées ; les figures restent semblables avec un rapport d'échelle prévisible.

Inversion

Si k≠0, l'homothétie inverse a pour facteur 1/k et le même centre ; un facteur négatif combine mise à l'échelle et symétrie centrale vis-à-vis du centre.

Limite

Définie pour tout espace affine ou euclidien muni d'un centre distingué et d'un corps scalaire ; k=1 est l'identité, k=0 concentre tout en le centre, et les mises à l'échelle linéaires non uniformes sont hors du cadre des homothéties.

Tension sémantique

Souvent confondue avec la similitude uniforme générale (qui peut inclure translations et rotations) ; l'homothétie est une mise à l'échelle uniforme centrée, distincte des similitudes composées avec des isométries supplémentaires.

Synthèse

L'homothétie est la mise à l'échelle uniforme centrée qui préserve les directions et les angles tout en multipliant toutes les distances au centre par un même scalaire.