Una transformación por similitud con centro que lleva cada punto al mismo rayo desde el centro multiplicando las distancias al centro por un factor de escala uniforme k (factor de dilatación).

Principio

Los vectores de posición relativos al centro O se escalan: para centro O y factor k, P ↦ O + k·(P−O). La aplicación conserva la colinealidad y los ángulos mientras escala las longitudes por |k|.

Demostración

En el plano, con centro O=(0,0) y k=2, la homotecia envía P=(x,y) a P'=(2x,2y), duplicando las distancias a O y produciendo una figura semejante el doble de grande centrada en O.

Aplicación incorrecta

Usar factores de escala distintos según la dirección (escalado anisótropo), cambiar el centro según el punto o considerar k=0 como una no-transformación; olvidar que k negativo invierte la orientación y sitúa las imágenes en el rayo opuesto.

Consecuencia

Se preservan los ángulos y las razones de longitudes a lo largo de cualquier rayo desde el centro se multiplican por k; las rectas que no pasan por el centro se envían a rectas paralelas, las que pasan por el centro permanecen inalteradas; las figuras siguen siendo semejantes con escala predecible.

Inversión

Si k≠0, la homotecia inversa tiene factor 1/k y el mismo centro; factores negativos combinan escalado con una reflexión central respecto al centro.

Límite

Definida en cualquier espacio afín o euclidiano con un centro distinguido y cuerpo escalar; k=1 es la identidad, k=0 colapsa todo en el centro, y los escalados lineales no uniformes quedan fuera de las homotecias.

Tensión semántica

A menudo se confunde con la similitud uniforme general (que puede incluir traslaciones y rotaciones); la homotecia es un escalado uniforme centrado, distinto de las similitudes compuestas con isometrías adicionales.

Síntesis

La homotecia es el escalado uniforme centrado que preserva direcciones y ángulos mientras multiplica todas las distancias al centro por el mismo factor escalar.