Eine Ähnlichkeitstransformation mit Zentrum, die jeden Punkt auf denselben Strahl vom Zentrum abbildet, indem die Abstände zum Zentrum mit einem einheitlichen Skalierungsfaktor k multipliziert werden.

Prinzip

Ortsvektoren relativ zum Zentrum O werden skaliert: für Zentrum O und Faktor k gilt P ↦ O + k·(P−O). Die Abbildung erhält Kollinearität und Winkel und skaliert Längen um den Faktor |k|.

Demonstration

In der Ebene mit Zentrum O=(0,0) und k=2 wird P=(x,y) auf P'=(2x,2y) abgebildet; Abstände zu O verdoppeln sich und die Figur wird ähnlich und zweimal so groß, zentriert in O.

Fehlanwendung

Unterschiedliche Skalierungsfaktoren in verschiedenen Richtungen (anisotrope Skalierung) verwenden, das Zentrum punktabhängig ändern oder k=0 fälschlich als unbedeutend ansehen; unterschätzen, dass negatives k die Orientierung umkehrt und Punkte auf den entgegengesetzten Strahl bringt.

Konsequenz

Winkel werden erhalten und Längenverhältnisse entlang eines Strahls vom Zentrum werden mit k multipliziert; Geraden durch das Zentrum bleiben invariant, Geraden ohne Zentrum werden auf parallele Geraden abgebildet; Figuren bleiben ähnlich mit vorhersehbarem Maßstab.

Umkehrung

Für k≠0 ist die inverse Homothetie die mit Faktor 1/k und demselben Zentrum; negative Faktoren verbinden Skalierung mit zentraler Spiegelung am Zentrum.

Abgrenzung

Definiert in jedem affinen oder euklidischen Raum mit festgelegtem Zentrum und Skalarkörper; k=1 ist die Identität, k=0 kollabiert alles zum Zentrum, und nichtuniforme lineare Skalierungen liegen außerhalb der Homothetien.

Semantische Spannung

Wird oft mit allgemeinen Ähnlichkeitsabbildungen verwechselt, die Rotation und Translation einschließen können; Homothetie ist jedoch die zentrierte, einheitliche Skalierung ohne zusätzliche Verschiebung oder Drehung.

Synthese

Eine Homothetie ist die zentrierte, einheitliche Skalierung, die Richtungen und Winkel erhält und alle Radien vom Zentrum um denselben Faktor skaliert.