Application linéaire, sur un espace à produit scalaire, qui envoie chaque vecteur sur le point unique du sous-espace linéaire donné qui est le plus proche, en se déplaçant selon des directions orthogonales au sous-espace.

Principe

Munis d'un produit scalaire, la projection orthogonale sur un sous-espace est l'opérateur linéaire idempotent et auto-adjoint dont l'image est le sous-espace et le noyau son complément orthogonal ; il sélectionne le point le plus proche pour la norme associée.

Démonstration

Dans R^3 muni du produit scalaire usuel, projeter p=(x,y,z) sur le plan z=0 donne (x,y,0) ; projeter sur la droite engendrée par un vecteur unitaire u donne (u·p)u. La matrice P de la projection sur un sous-espace engendré par des colonnes orthonormales Q est P=QQ^T, avec P^2=P et P^T=P.

Mauvaise application

Considérer la projection orthogonale comme définie sans produit scalaire, ou supposer l'unicité du point le plus proche pour un sous-espace non fermé ; appliquer les mêmes formules dans un espace muni d'une autre métrique conduit à des erreurs.

Conséquence

Bien appliquée, elle fournit l'approximation au point le plus proche, décompose les vecteurs en composantes orthogonales, produit un opérateur symétrique idempotent et préserve les propriétés de minimisation (solutions au sens des moindres carrés).

Inversion

L'opération inverse n'est en général pas définie : l'information orthogonale au sous-espace est perdue et on ne peut reconstituer le vecteur initial à partir de sa projection ; la projection complémentaire sur le complément orthogonal restaure la composante supprimée.

Limite

Nécessite une structure de produit scalaire (ou un espace de Hilbert) et un sous-espace linéaire fermé pour l'unicité ; ne se généralise pas comme projection orthogonale dans des cadres métriques arbitraires ou purement affines sans notion d'orthogonalité.

Tension sémantique

On la confond fréquemment avec la projection oblique (projection selon un complément non orthogonal) et avec les applications de plus proche point en géométries non euclidiennes ; contrairement à la projection oblique, la projection orthogonale est auto-adjointe et minimise la distance.

Synthèse

La projection orthogonale est l'opérateur linéaire canonique du point le plus proche dans un espace à produit scalaire : un opérateur auto-adjoint et idempotent qui décompose tout vecteur en sa partie projetée et son reste orthogonal.