Aplicación lineal en un espacio con producto escalar que envía cada vector al punto único más cercano de un subespacio lineal dado, desplazando en direcciones ortogonales a ese subespacio.

Principio

Con un producto interior, la proyección ortogonal sobre un subespacio es el operador lineal idempotente y auto-adjunto cuya imagen es el subespacio y cuyo núcleo es su complemento ortogonal; selecciona el punto más cercano en norma.

Demostración

En R^3 con el producto punto habitual, proyectar p=(x,y,z) sobre el plano z=0 da (x,y,0); proyectar sobre la recta generada por un vector unitario u da (u·p)u. La matriz P de la proyección sobre un subespacio con columnas ortonormales Q es P=QQ^T, con P^2=P y P^T=P.

Aplicación incorrecta

Tratar la proyección ortogonal como definida sin producto escalar, o suponer unicidad del punto más cercano sobre un subespacio no cerrado; aplicar las mismas fórmulas en un espacio con otra métrica produce resultados incorrectos.

Consecuencia

Aplicada correctamente produce la aproximación de punto más cercano, descompone vectores en componentes ortogonales, da un operador simétrico idempotente y preserva propiedades de minimización (soluciones de mínimos cuadrados).

Inversión

No suele existir inversión: la información ortogonal al subespacio se pierde, por lo que no se puede recuperar el vector original a partir de su proyección; la proyección complementaria sobre el complemento ortogonal recupera la componente eliminada.

Límite

Requiere una estructura de producto escalar (o espacio de Hilbert) y un subespacio lineal cerrado para la unicidad; no se generaliza como proyección ortogonal en espacios métricos arbitrarios o contextos afines sin noción de ortogonalidad.

Tensión semántica

Se confunde frecuentemente con la proyección oblicua (proyección a lo largo de un complemento no ortogonal) y con mapas de punto más cercano en geometrías no euclídeas; a diferencia de la oblicua, la ortogonal es auto-adjunta y minimiza la distancia.

Síntesis

La proyección ortogonal es el operador canónico del punto más cercano en un espacio con producto escalar: un mapa idempotente y auto-adjunto que descompone un vector en su parte proyectada y su resto ortogonal.