Definition
Eine lineare Abbildung in einem Skalarproduktraum, die jeden Vektor auf den eindeutigen nächstgelegenen Punkt eines angegebenen linearen Teilraums abbildet, indem sie entlang orthogonaler Richtungen verschiebt.
Prinzip
Prinzip
Mit einem Skalarprodukt ist die orthogonale Projektion auf einen Unterraum der idempotente, selbstadjungierte lineare Operator, dessen Bild der Unterraum und dessen Kern das orthogonale Komplement ist; sie liefert den in der Norm nächstliegenden Punkt.
Demonstration
Demonstration
In R^3 mit dem Standardskalarprodukt projiziert die Projektion eines Punktes p=(x,y,z) auf die Ebene z=0 zu (x,y,0); auf die von einer Einheitsvektor u gespannten Gerade ergibt sich (u·p)u. Die Projektionsmatrix für einen Unterraum mit orthonormalen Spalten Q ist P=QQ^T, wobei P^2=P und P^T=P gilt.
Fehlanwendung
Fehlanwendung
Die orthogonale Projektion als ohne Skalarprodukt definiert betrachten oder in der Annahme, die nächste Punkt existiere eindeutig für einen nicht abgeschlossenen Unterraum; oder dieselben Formeln in Räumen mit anderer Metrik anwenden führt zu Fehlern.
Konsequenz
Konsequenz
Richtig angewandt liefert sie die nächstliegende Approximation, zerlegt Vektoren in orthogonale Komponenten, ergibt einen symmetrischen idempotenten Operator und sichert Minimierungseigenschaften (Kleinste-Quadrate-Lösungen).
Umkehrung
Umkehrung
Eine allgemeine Umkehr ist nicht gegeben: Orthogonale Anteile gehen verloren, so dass man den ursprünglichen Vektor nicht aus seiner Projektion zurückgewinnen kann; die komplementäre Projektion auf das orthogonale Komplement rekonstruiert die entfernte Komponente.
Abgrenzung
Abgrenzung
Voraussetzung ist eine Skalarproduktstruktur (oder ein Hilbertraum) und ein abgeschlossener linearer Unterraum für die Eindeutigkeit; in allgemeinen metrischen oder rein affinen Rahmen ohne Orthogonalitätsbegriff ist keine orthogonale Projektion definiert.
Semantische Spannung
Semantische Spannung
Oft wird sie mit schräger (obliquer) Projektion verwechselt (Projektion entlang eines nicht orthogonalen Komplements) oder mit nächster-Punkt-Abbildungen in nichteuklidischen Geometrien; im Gegensatz zur schrägen Projektion ist die orthogonale Projektion selbstadjungiert und distanzminimierend.
Synthese
Synthese
Die orthogonale Projektion ist der kanonische nächst-Punkt-Operator in einem Skalarproduktraum: ein selbstadjungierter, idempotenter Operator, der jeden Vektor in seinen projizierten Anteil und den orthogonalen Rest zerlegt.