Un solide tridimensionnel bordé par un nombre fini de faces polygonales planaires qui se rencontrent selon des arêtes et en des sommets ; on considère à la fois les formes convexes et non convexes, avec des caractérisations combinatoires et topologiques.

Principe

Un polyèdre est constitué de faces polygonales assemblées en appariant les arêtes de sorte que localement le bord soit un complexe cellulaire bidimensionnel ; pour les polyèdres convexes la formule d'Euler V - E + F = 2 vaut et le réseau de faces encode les relations d'incidence.

Démonstration

Un cube : six faces carrées se rencontrant selon douze arêtes et huit sommets ; un tétraèdre : quatre faces triangulaires se rencontrant selon six arêtes et quatre sommets ; ce sont des solides polyédriques finis aux faces planes.

Mauvaise application

Qualifier d'objet polyèdre lorsqu'il possède des faces non planaires (courbes ou approximations facettées d'une surface courbe), lorsque le nombre de faces est infini, ou traiter des objets fractals ou limites comme polyèdres sans décomposition cellulaire polygonale finie.

Conséquence

Les polyèdres finis admettent des invariants combinatoires (réseau de faces, caractéristique d'Euler), des mesures géométriques (aires de faces, angles dièdres, volume), des constructions de polytopes duaux et des notions de rigidité et de pavage en géométrie tridimensionnelle.

Inversion

Remplacer des faces polygonales planaires par des faces lisses courbées donne des solides à bord lisse plutôt que polyédriques ; généraliser en dimension supérieure conduit aux polytopes, qui partagent des caractéristiques combinatoires mais diffèrent en réalisation géométrique.

Limite

Se réfère à des solides polyédriques finis en trois dimensions dont les faces sont des polygones plans se rencontrant le long d'arêtes droites ; exclut les complexes polyédriques infinis, les solides à faces non planes et les complexes cellulaires purement topologiques sans plongement planaire.

Tension sémantique

Tension entre définitions combinatoires et géométriques : certains auteurs admettent des polyèdres non convexes ou auto-intersectants ou des complexes cellulaires plus larges comme polyèdres, tandis que la théorie classique des polyèdres convexes impose des restrictions ; tension aussi avec 'polytope' qui généralise la dimension.

Synthèse

Un polyèdre est un solide fini en trois dimensions dont le bord est composé de faces polygonales planes se rencontrant le long d'arêtes et de sommets ; il est à la fois objet géométrique (faces, volume, angles) et complexe cellulaire combinatoire (incidences de faces).