Un sólido tridimensional limitado por una colección finita de caras poligonales planas que se encuentran a lo largo de aristas y en vértices; se considera tanto en formas convexas como no convexas, con caracterizaciones combinatorias y topológicas.

Principio

Un poliedro se ensambla a partir de caras poligonales pegadas por aristas coincidentes de modo que localmente la frontera es un complejo celular bidimensional; para poliedros convexos se cumple la fórmula de Euler V - E + F = 2 y la retícula de caras captura las relaciones de incidencia.

Demostración

Un cubo: seis caras cuadradas que se encuentran en doce aristas y ocho vértices; un tetraedro: cuatro caras triangulares con seis aristas y cuatro vértices; ambos son sólidos poliedros finitos con caras planas.

Aplicación incorrecta

Llamar poliedro a un objeto cuyas caras no son planas (curvas o aproximaciones facetadas de una superficie curva), cuando hay infinitas caras, o tratar objetos fractales o límites como poliedros sin una descomposición celular poligonal finita.

Consecuencia

Los poliedros finitos admiten invariantes combinatorios (retículo de caras, característica de Euler), medidas geométricas (áreas de caras, ángulos diedros, volumen), construcciones de poliedros duales y nociones bien planteadas de rigidez y teselación en geometría tridimensional.

Inversión

Sustituir caras poligonales planas por caras suaves curvas produce sólidos con frontera suave en lugar de poliedros; generalizar a dimensiones superiores da lugar a politopos, que comparten ciertos rasgos combinatorios pero difieren en su realización geométrica.

Límite

Se refiere a sólidos poliedros finitos en tres dimensiones con caras poligonales planas que se encuentran a lo largo de aristas rectas; excluye complejos poliedrales infinitos, sólidos con caras no planas y complejos celulares puramente topológicos sin embebimiento plano.

Tensión semántica

Tensión entre definiciones combinatoria y geométrica: algunos autores permiten poliedros no convexos o auto-intersectantes o complejos celulares más amplios como poliedros, mientras que la teoría clásica restringe a sólidos convexos, planos y finitos; tensión también con 'poliedro' vs 'politopo' en mayor generalidad dimensional.

Síntesis

Un poliedro es un sólido tridimensional finito cuya frontera está compuesta por caras poligonales planas que se encuentran a lo largo de aristas y vértices; es simultáneamente un objeto geométrico (caras, volumen, ángulos) y un complejo celular combinatorio (estructura de incidencias de caras).