Une courbe sur une variété dont l'accélération covariante relative à une connexion affine choisie (généralement la connexion de Levi-Civita d'une métrique riemannienne) s'annule ; équivalemment, une courbe qui extrémise localement (généralement minimise) la longueur ou l'énergie.

Principe

Les géodésiques sont des trajectoires autoparallèles de la connexion satisfaisant l'équation géodésique (EDO d'ordre deux) et apparaissent comme solutions d'Euler–Lagrange du fonctionnel énergie sur l'espace des chemins ; elles codent le mouvement le plus 'droit' compatible avec la connexion.

Démonstration

Les grands cercles sur la sphère unité sont des géodésiques pour la connexion de Levi-Civita induite : chaque grand cercle a une accélération covariante nulle et minimise localement la longueur entre points voisins jusqu'au point de coupure antipodal.

Mauvaise application

Supposer qu'une géodésique est toujours le chemin de plus courte longueur entre deux points — au-delà du lieu de coupure ou en présence de points conjugués, une géodésique peut cesser de minimiser ; confondre des droites de coordonnées avec des géodésiques sur une variété courbe sans vérifier la connexion.

Conséquence

Les géodésiques fournissent des segments minimisant localement la distance, définissent l'application exponentielle au point (qui envoie vecteurs tangents sur les points atteints le long des géodésiques) et déterminent des coordonnées normales et de nombreuses propriétés de courbure.

Inversion

Les courbes d'accélération covariante non nulle sont non géodésiques (elles subissent une force ou une contrainte) ; inverser la caractérisation variationnelle conduit à des courbes maximisant d'autres fonctionnels ou à des trajectoires contraintes comme celles de particules chargées dans un champ électromagnétique.

Limite

Nécessite le choix d'une connexion affine (pour les géodésiques métriques, typiquement la connexion de Levi-Civita) ; dans les espaces métriques sans structure différentiable 'géodésique' signifie chemin le plus court mais n'obéit pas à une EDO ; exclut les graphes discrets où géodésique désigne le plus court chemin combinatoire.

Tension sémantique

Tension entre la notion différentielle (courbes autoparallèles résolvant l'équation géodésique) et la notion métrique (chemins les plus courts) : en géométrie riemannienne elles coïncident localement mais divergent globalement ; tension aussi avec les droites de coordonnées qui peuvent être courbées globalement.

Synthèse

Une géodésique est une courbe d'accélération covariante nulle pour une connexion donnée, équivalente à un extréma local de longueur ou d'énergie, servant de trajectoire la plus 'droite' ou localement la plus courte et fondant l'application exponentielle et les coordonnées normales.