Una curva en una variedad cuya aceleración covariante respecto a una conexión afín elegida (habitualmente la conexión de Levi-Civita de una métrica riemanniana) es nula; equivalentemente, una curva que extremiza localmente (usualmente minimiza) la longitud o la energía.

Principio

Las geodésicas son trayectorias autoparalelas de la conexión que satisfacen la ecuación geodésica (EDO de segundo orden) y aparecen como soluciones de Euler–Lagrange del funcional energía en el espacio de trayectorias; codifican el movimiento más 'recto' compatible con la conexión.

Demostración

Los círculos máximos en la esfera unidad son geodésicas para la conexión de Levi-Civita inducida: cada círculo máximo tiene aceleración covariante nula y minimiza localmente la longitud entre puntos cercanos hasta el punto de corte antipodal.

Aplicación incorrecta

Suponer que una geodésica es siempre el camino más corto global entre dos puntos — más allá del lugar de corte o en presencia de puntos conjugados puede dejar de minimizar; confundir rectas de coordenadas con geodésicas en una variedad curva sin comprobar la conexión es un error común.

Consecuencia

Las geodésicas proporcionan segmentos localmente minimizadores de distancia, definen el mapa exponencial en un punto (que lleva vectores tangentes a puntos alcanzados a lo largo de geodésicas) y determinan coordenadas normales y muchas propiedades de curvatura.

Inversión

Curvas con aceleración covariante no nula son no geodésicas (sufren una fuerza o restricción); invertir la caracterización variacional conduce a curvas que maximizan otros funcionales o a trayectorias forzadas como las de partículas cargadas en campos electromagnéticos.

Límite

Requiere la elección de una conexión afín (para geodésicas métricas, típicamente la conexión de Levi-Civita); en espacios métricos sin estructura diferenciable 'geodésica' significa camino más corto pero puede no satisfacer una ecuación diferencial; excluye grafos discretos donde geodésica es el camino combinatorio más corto.

Tensión semántica

Tensión entre la noción diferencial (curvas autoparalelas que resuelven la ecuación geodésica) y la noción métrica (caminos más cortos): en geometría riemanniana coinciden localmente pero divergen globalmente; tensión también con rectas de coordenadas que pueden ser curvas globalmente.

Síntesis

Una geodésica es una curva de aceleración covariante nula respecto a una conexión dada, equivalente a un extremo local de longitud o energía, que actúa como la trayectoria más 'recta' o localmente más corta y fundamenta el mapa exponencial y coordenadas normales.