Eine Kurve auf einer Mannigfaltigkeit, deren kovariante Beschleunigung bezüglich einer gewählten affinen Verbindung (typischerweise der Levi-Civita-Verbindung einer riemannschen Metrik) verschwindet; äquivalent dazu ist sie lokal ein Extremum (meist Minimum) der Länge oder Energie.

Prinzip

Geodäten sind autoparallele Trajektorien der Verbindung, die die geodätische Gleichung (eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung) erfüllen und als Lösungen der Euler–Lagrange-Gleichungen des Energiefunktionals auf dem Wegraum entstehen; sie kodieren die möglichst 'gerade' verlaufende Bewegung verträglich mit der Verbindung.

Demonstration

Großkreise auf der Einheitssphäre sind Geodäten der induzierten Levi-Civita-Verbindung: jeder Großkreis hat verschwindende kovariante Beschleunigung und minimiert lokal die Länge zwischen nahe gelegenen Punkten bis zum antipodalen Schnittpunkt.

Fehlanwendung

Anzunehmen, eine Geodäte sei stets der global kürzeste Weg zwischen zwei Punkten — jenseits der Schnittstelle oder bei Vorhandensein konjugierter Punkte kann eine Geodäte aufhören, zu minimieren; Koordinatengeraden mit Geodäten zu verwechseln, ohne die Verbindung zu prüfen, ist ebenso irreführend.

Konsequenz

Geodäten liefern lokal distanzminimierende Segmente, definieren die Exponentialabbildung am Punkt (Ordnung von Tangentialvektoren zu Punkten entlang Geodäten) und bestimmen Normal-Koordinaten sowie viele Krümmungseigenschaften.

Umkehrung

Kurven mit nichtverschwindender kovarianter Beschleunigung sind nicht-geodätisch (sie erfahren eine Kraft oder Zwang); die Variationscharakteristik umzukehren führt zu Kurven, die andere Funktionale maximieren, oder zu erzwungenen Trajektorien wie geladenen Teilchen in elektromagnetischen Feldern.

Abgrenzung

Benötigt die Wahl einer affinen Verbindung (für metrische Geodäten meist die Levi-Civita-Verbindung); in metrischen Räumen ohne differenzierbare Struktur bedeutet 'Geodäte' kürzester Pfad, erfüllt jedoch keine Differentialgleichung; schließt diskrete Graphen aus, wo Geodäte kombinatorisch kürzester Weg heißt.

Semantische Spannung

Spannung zwischen dem differentiellen Begriff (autoparallele Kurven, die die Geodätengleichung lösen) und der metrischen Auffassung (kürzeste Wege): in riemannscher Geometrie stimmen sie lokal überein, global können sie auseinanderfallen; Spannung auch gegenüber Koordinatengeraden, die global gekrümmt sein können.

Synthese

Eine Geodäte ist eine Kurve mit verschwindender kovarianter Beschleunigung bezüglich einer Verbindung, äquivalent zu einem lokalen Extremum von Länge oder Energie, die als die geradeste bzw. lokal kürzeste Trajektorie der Mannigfaltigkeit fungiert und Exponentialabbildung und Normalkoordinaten begründet.