L'espace vectoriel, en un point d'une variété différentiable, formé par les classes d'équivalence de courbes passant par ce point (vecteurs vitesse) ou par les dérivations au point ; il représente les directions d'ordre un possibles au point.

Principe

Modéliser le mouvement infinitésimal en un point soit comme vitesses de courbes modulo contact d'ordre un soit comme dérivations linéaires sur les gerbes de fonctions lisses ; l'espace tangent a la même dimension que la variété et fournit son approximation linéaire.

Démonstration

Au pôle nord de la sphère unité S^2, l'espace tangent est le plan orthogonal au vecteur rayon ; toute courbe lisse passant par le pôle nord détermine un vecteur vitesse dans ce plan.

Mauvaise application

Traiter les espaces tangents en des points différents comme identiques sans préciser une connexion ou une trivialisation, ou confondre l'espace tangent avec le fibré tangent (réunion globale de tous les espaces tangents).

Conséquence

Les différentielles des applications lisses sont des applications linéaires entre espaces tangents, permettant la linéarisation de problèmes non linéaires ; les champs de vecteurs assignent des vecteurs tangents de façon lisse et les tenseurs opèrent sur les espaces tangents.

Inversion

Remplacer les vecteurs tangents par des covecteurs donne l'espace cotangent des fonctionnelles linéaires ; considérer les espaces normaux (compléments orthogonaux) oppose les directions tangentielles aux directions transverses d'une sous-variété.

Limite

Défini pour les variétés différentiables (C^1 ou mieux) ou pour les variétés lisses ; n'existe pas intrinsèquement pour des espaces purement topologiques sans structure supplémentaire et diffère des analogues combinatoires ou discrets.

Tension sémantique

Tension entre l'image géométrique (vecteurs vitesses dans un espace ambiant) et la définition algébrique par dérivations : les deux sont équivalentes sous structure lisse mais suggèrent des intuitions différentes ; tension aussi avec les plans tangents ambiants quand la variété est plongée.

Synthèse

L'espace tangent en un point est l'espace linéaire des directions d'ordre un en ce point, réalisé soit comme classes de courbes soit comme dérivations, et sert d'approximation linéaire utilisée par les différentielles et l'analyse locale.