Der Vektorraum an einem Punkt einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit, gebildet durch Äquivalenzklassen von Kurven durch diesen Punkt (Geschwindigkeitsvektoren) oder durch Derivationen am Punkt; er repräsentiert mögliche erste Ordnung Richtungen durch den Punkt.

Prinzip

Das infinitesimale Verhalten an einem Punkt entweder als Geschwindigkeiten von Kurven modulo erste Ordnung Kontakt oder als lineare Derivationen auf Keimen glatter Funktionen modellieren; der Tangentenraum hat dieselbe Dimension wie die Mannigfaltigkeit und ist ihre lineare Approximation.

Demonstration

Am Nordpol der Einheitssphäre S^2 ist der Tangentenraum die Ebene, die zum Radiusvektor orthogonal ist; jede glatte Kurve durch den Nordpol bestimmt einen Geschwindigkeitsvektor in dieser Ebene.

Fehlanwendung

Tangentialräume verschiedener Punkte ohne Angabe einer Verbindung oder Trivialisierung als identisch behandeln oder den Tangentenraum mit dem Tangentialbündel (der globalen Sammlung aller Tangentialräume) verwechseln.

Konsequenz

Differentiale glatter Abbildungen sind lineare Abbildungen zwischen Tangentialräumen und ermöglichen die Linearisierung nichtlinearer Probleme; Vektorfelder ordnen jedem Punkt glatt einen Tangentenvektor zu, und Tensoren wirken auf Tangentialräumen.

Umkehrung

Tangentenvectoren durch Kovektoren ersetzen führt zum Kotangentialraum der linearen Funktionale; Betrachtung normaler Räume (orthogonale Komplemente) stellt tangentiale Richtungen den transversalen Richtungen einer Untermannigfaltigkeit gegenüber.

Abgrenzung

Definiert für differenzierbare (C^1 oder besser) Mannigfaltigkeiten bzw. glatte Mannigfaltigkeiten; existiert nicht intrinsisch für rein topologische Räume ohne zusätzliche Struktur und unterscheidet sich von diskreten oder kombinatorischen Tangentenbegriffen.

Semantische Spannung

Spannung zwischen dem geometrischen Bild (Geschwindigkeitsvektoren im umgebenden Raum) und der algebraischen Definition über Derivationen: beide sind unter glatter Struktur äquivalent, suggerieren aber unterschiedliche Intuitionen; Spannung auch gegenüber eingebetteten Tangentialebenen.

Synthese

Der Tangentenraum an einem Punkt ist der lineare Raum der ersten Ordnung Richtungen durch diesen Punkt, realisiert entweder als Kurvenklassen oder als Derivationen, und dient als lineare Approximation für Differenziale und lokale Analysis.