El espacio vectorial en un punto de una variedad diferenciable formado por clases de equivalencia de curvas por ese punto (vectores velocidad) o por derivaciones en el punto; representa las direcciones de primer orden admisibles en el punto.

Principio

Modelar el movimiento infinitesimal en un punto como velocidades de curvas moduladas por contacto de primer orden o como derivaciones lineales sobre germenes de funciones suaves; el espacio tangente tiene la misma dimensión que la variedad y es su aproximación lineal.

Demostración

En el polo norte de la esfera unidad S^2, el espacio tangente es el plano ortogonal al vector radio; cada curva suave que pasa por el polo determina un vector velocidad en ese plano.

Aplicación incorrecta

Tratar los espacios tangentes en puntos distintos como idénticos sin fijar una conexión o trivialización, o confundir el espacio tangente con el haz tangente (la colección global de todos los espacios tangentes).

Consecuencia

Los diferenciales de aplicaciones suaves son mapas lineales entre espacios tangentes, permitiendo la linealización de problemas no lineales; campos vectoriales asignan vectores tangentes suavemente y los tensores actúan sobre los espacios tangentes.

Inversión

Reemplazar vectores tangentes por covectores conduce al espacio cotangente de funcionales lineales; considerar espacios normales (complementos ortogonales) contrasta las direcciones tangenciales con las transversales en una subvariedad.

Límite

Definido para variedades diferenciables (C^1 o mejor) o variedades suaves; no existe intrínsecamente para espacios puramente topológicos sin estructura adicional y difiere de análogos discretos o combinatorios.

Tensión semántica

Tensión entre la imagen geométrica (vectores velocidad en un espacio ambiente) y la definición algebraica por derivaciones: ambas son equivalentes con estructura suave pero sugieren intuiciones distintas; tensión también con planos tangentes ambientales si la variedad está embebida.

Síntesis

El espacio tangente en un punto es el espacio lineal de direcciones de primer orden en ese punto, realizado como clases de curvas o derivaciones, y actúa como la aproximación lineal usada por diferenciales y el análisis local.