Une variété différentiable munie en chaque point d'un produit scalaire défini positif qui varie de façon lisse sur les espaces tangents, définissant les longueurs des vecteurs tangents et induisant des notions de distance et d'angle sur la variété.

Principe

Attribuer à chaque point une forme bilinéaire symétrique définie positive sur l'espace tangent, dépendant de manière lisse du point ; cette métrique riemannienne organise la géométrie linéaire locale et permet de construire la connexion et la courbure.

Démonstration

La sphère de dimension 2 plongée dans l'espace euclidien de dimension 3 avec la métrique induite par le produit scalaire ambiant : chaque plan tangent hérite de la restriction du produit scalaire euclidien, ce qui donne les grandes cercles comme géodésiques minimisant la longueur localement.

Mauvaise application

Qualifier une variété de riemannienne alors que la forme bilinéaire point par point est indéfinie (signature non strictement positive) — il s'agit alors d'une variété pseudo-riemannienne — ou utiliser une forme seulement continue alors que la lissité est nécessaire pour les constructions différentielles usuelles.

Conséquence

On obtient des longueurs et angles locaux bien définis, une connexion de Levi-Civita, des géodésiques, des tenseurs de courbure et une fonction distance compatible avec la topologie ; l'analyse géométrique (laplacien, forme volumique) découle de la métrique.

Inversion

Supprimer la positivité mène à la géométrie pseudo-riemannienne avec une structure causale ; supprimer la lissité fournit des notions métriques sans outils différentiables ; ne garder que la structure topologique élimine les invariants métriques comme la courbure.

Limite

S'applique aux variétés lisses (C^k, typiquement C^∞) munies d'une métrique riemannienne définie positive ; exclut les variétés à métrique indéfinie, les variétés purement topologiques sans métrique choisie et les espaces métriques discrets.

Tension sémantique

Tension avec la notion abstraite d'espace métrique : toute métrique n'est pas induite par une métrique riemannienne ; tension aussi avec le concept de courbure de Riemann (tenseur dérivé) et avec les structures pseudo-riemanniennes utilisées en relativité.

Synthèse

Une variété riemannienne est une variété lisse munie en chaque point d'un produit scalaire défini positif variant de façon lisse sur l'espace tangent, fournissant les données métriques locales à l'origine des longueurs, angles, géodésiques et courbure.