Una variedad diferenciable provista en cada punto de un producto interior definido positivo que varía suavemente en los espacios tangentes, lo que define longitudes de vectores tangentes e induce nociones de distancia y ángulo en la variedad.

Principio

Asignar a cada punto una forma bilineal simétrica y definida positiva en el espacio tangente que dependa suavemente del punto; esta métrica riemanniana organiza la geometría lineal local y permite construir conexión y curvatura.

Demostración

La esfera de dimensión 2 embebida en el espacio euclidiano R^3 con la métrica inducida por el producto punto: cada plano tangente hereda la restricción del producto interior euclidiano, de modo que los círculos máximos son las geodésicas que minimizan la longitud localmente.

Aplicación incorrecta

Llamar riemanniana a una variedad cuando la forma bilineal es indefinida (entonces es pseudo-riemanniana), o usar una forma únicamente continua cuando se requiere suavidad para las construcciones diferenciales estándar.

Consecuencia

Se obtienen longitudes y ángulos locales bien definidos, una conexión de Levi-Civita, geodésicas, tensores de curvatura y una función distancia compatible con la topología; el análisis geométrico (laplaciano, forma volumen) deriva de la métrica.

Inversión

Quitar la definidad positiva conduce a geometría pseudo-riemanniana con estructura causal; quitar la suavidad ofrece nociones métricas sin herramientas diferenciales; limitarse a la variedad topológica elimina invariantes métricos como la curvatura.

Límite

Se aplica a variedades suaves (C^k, normalmente C^∞) con una métrica riemanniana definida positiva; excluye variedades con métrica indefinida, variedades puramente topológicas sin métrica elegida y espacios métricos discretos.

Tensión semántica

Tensión con la noción abstracta de espacio métrico: no toda métrica proviene de una métrica riemanniana; tensión también con el tensor de curvatura de Riemann y con estructuras pseudo-riemannianas usadas en relatividad.

Síntesis

Una variedad riemanniana es una variedad suave equipada con un producto interior definido positivo, que varía suavemente en cada espacio tangente y proporciona los datos métricos locales que generan longitudes, ángulos, geodésicas y curvatura.