Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, auf der jedem Tangentialraum glatt ein positiv-definites Skalarprodukt zugeordnet ist; dieses definiert Längen von Tangentenvektoren und induziert Abstände und Winkel auf der Mannigfaltigkeit.

Prinzip

Jedem Punkt eine symmetrische, bilineare, positiv-definite Form auf dem Tangentialraum zuordnen, die glatt vom Punkt abhängt; diese riemannsche Metrik strukturiert die lokale lineare Geometrie und ermöglicht die Definition von Verbindung und Krümmung.

Demonstration

Die 2-Sphäre in Euklidischem R^3 mit der durch das Standardskalarprodukt induzierten Metrik: jeder Tangentialebene wird das eingeschränkte Skalarprodukt zugewiesen, wodurch Großkreise lokal geodätische Längen minimieren.

Fehlanwendung

Eine Mannigfaltigkeit als riemannsch bezeichnen, obwohl die punktweisen Formen indefinit sind (dann handelt es sich um eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit), oder nur eine stetige statt glatte Form annehmen, wodurch differenzierbare Konstruktionen versagen.

Konsequenz

Es ergeben sich wohldefinierte lokale Längen, Winkel, die Levi-Civita-Zusammenhang, Geodäten, Krümmungstensoren und eine Abstands-Funktion kompatibel mit der Topologie; Analyse und Geometrie (Laplacian, Volumenform) folgen aus der Metrik.

Umkehrung

Wegnahme der Positiv-Definitheit führt zu pseudo-riemannscher Geometrie mit kausaler Struktur; Wegnahme der Glattheit liefert metrische Begriffe ohne differenzierbare Werkzeuge; nur die topologische Mannigfaltigkeit zu betrachten entfernt metrikabhängige Invarianten wie die Krümmung.

Abgrenzung

Gilt für glatte (C^k, meist C^∞) Mannigfaltigkeiten mit einer positiv-definiten riemannschen Metrik; schließt indefinit-metrische Mannigfaltigkeiten, rein topologische Mannigfaltigkeiten ohne gewählte Metrik und diskrete metrische Räume aus.

Semantische Spannung

Spannung gegenüber dem abstrakten Begriff eines metrischen Raums: nicht jede Metrik auf einer Mannigfaltigkeit stammt von einer riemannschen Metrik; Spannung auch gegenüber dem Riemannschen Krümmungstensor und pseudo-riemannschen Strukturen in der Relativität.

Synthese

Eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist eine glatte Mannigfaltigkeit mit einem glatt variierenden positiv-definiten inneren Produkt auf jedem Tangentialraum, das die lokalen metrischen Daten liefert, aus denen Längen, Winkel, Geodäten und Krümmung folgen.