Une singularité pointue sur une courbe ou une frontière où la régularité échoue parce que deux directions tangentes se confondent en une seule avec un contact d'ordre supérieur ; la courbe n'est pas régulière et la courbure diverge souvent.

Principe

Une cuspide apparaît lorsqu'une paramétrisation a des dérivées nulles d'ordre supérieur (par exemple t↦(t^2,t^3) en t=0) de sorte que les branches se rejoignent avec tangentes coïncidentes et que la structure de variété lisse échoue.

Démonstration

Exemple : la parabole semi-cubique donnée par y^2=x^3 possède une cuspide à l'origine ; la courbe a une direction tangente unique mais n'est pas différentiable comme courbe lisse intégrée en ce point.

Mauvaise application

Qualifier de cuspide tout angle vif ou sommet ; les coins ont des tangentes unilatérales distinctes (discontinuité angulaire), tandis qu'une cuspide implique des tangentes coïncidentes et un contact d'ordre supérieur entre branches.

Conséquence

Les cuspides modifient les propriétés géométriques et analytiques locales : la courbure et les paramétrisations par longueur d'arc sont singulières, les multiplicités d'intersection locales augmentent, et la classification en théorie des singularités (type A2) s'applique.

Inversion

Un nœud ou une intersection transversale est l'inverse : les branches se coupent avec des tangentes distinctes et la singularité est d'un type d'intersection plus simple plutôt que cuspidal à contact élevé.

Limite

S'applique principalement aux courbes algébriques ou analytiques planes et aux questions de régularité de frontière ; exclut les coins ordinaires, les croisements et les tacnodes de multiplicité supérieure qui forment d'autres classes de singularités.

Tension sémantique

Tension entre la notion de cuspide et de coin en géométrie et régularité des EDP : les deux paraissent 'pointus' mais présentent des signatures analytiques différentes (annulation d'ordre supérieur versus discontinuité angulaire).

Synthèse

Une cuspide est une singularité pointue de contact d'ordre supérieur où des dérivées s'annulent et les branches se coalisent tangentiellement ; c'est un point non régulier aux conséquences géométriques et analytiques marquées, distinct des coins ou croisements.