Una singularidad puntiaguda en una curva o frontera donde falla la suavidad porque dos direcciones tangentes se fusionan en una sola con contacto de orden superior; la curva no es regular allí y la curvatura suele divergir.

Principio

Una cúspide ocurre cuando una parametrización tiene derivadas que se anulan de orden superior (por ejemplo t↦(t^2,t^3) en t=0) de modo que las ramas se reúnen con tangentes coincidentes y la estructura de variedad suave habitual se rompe.

Demostración

Ejemplo: la parábola semicúbica definida por y^2=x^3 tiene una cúspide en el origen; la curva tiene una única dirección tangente pero no es diferenciable como curva suave incrustada en ese punto.

Aplicación incorrecta

Llamar cúspide a cualquier vértice o esquina afilada; las esquinas tienen tangentes unilaterales distintas (discontinuidad angular), mientras que una cúspide implica tangentes coincidentes y contacto de orden superior entre ramas.

Consecuencia

Las cúspides modifican las propiedades geométricas y analíticas locales: la curvatura y las parametrizaciones por longitud de arco son singulares, aumentan las multiplicidades de intersección locales y se aplica la clasificación en teoría de singularidades (tipo A2).

Inversión

Un nudo o cruce transversal es lo contrario: las ramas se intersectan con tangentes distintas y la singularidad es de tipo intersección más simple en lugar de cuspidal de contacto elevado.

Límite

Se aplica principalmente a curvas algebraicas o analíticas planas y a cuestiones de regularidad de la frontera; excluye esquinas ordinarias, cruces y tacnodes de mayor multiplicidad que pertenecen a otras clases de singularidad.

Tensión semántica

Tensión entre cúspide y esquina en geometría y regularidad de EDP: ambos parecen 'puntiagudos' pero tienen firmas analíticas diferentes (anulación de orden superior versus discontinuidad angular).

Síntesis

Una cúspide es una singularidad puntiaguda de contacto de orden superior donde se anulan derivadas y las ramas se coaleyan tangencialmente; es un punto no regular con consecuencias geométricas y analíticas fuertes, distinto de esquinas o cruces.