Eine spitze Singularität auf einer Kurve oder Grenze, bei der die Glattheit versagt, weil zwei Tangentialrichtungen in eine einzige mit höherem Kontakt zusammenfallen; die Kurve ist dort nicht regulär und die Krümmung läuft typischerweise ins Unendliche.

Prinzip

Ein Kuspidalpunkt entsteht, wenn eine Parametrisierung höherordentlich verschwindende Ableitungen aufweist (z. B. t↦(t^2,t^3) bei t=0), so dass Zweige mit zusammenfallenden Tangenten zusammentreffen und die übliche glatte Mannigfaltigkeitsstruktur bricht.

Demonstration

Beispiel: Die halb-kubische Parabel y^2=x^3 hat in der Ursprung einen Kuspidalpunkt; die Kurve besitzt eine einzige Tangentenrichtung, ist aber als reguläre eingebettete glatte Kurve dort nicht differenzierbar.

Fehlanwendung

Jedes scharfe Eck oder jede Ecke als Kuspidalpunkt zu bezeichnen; Ecken haben verschiedene einseitige Tangenten (Winkelstörung), wohingegen ein Kuspidalpunkt zusammenfallende Tangenten und höherordentlichen Kontakt aufweist.

Konsequenz

Kuspidalpunkte verändern lokale geometrische und analytische Eigenschaften: Krümmung und Bogenlängenparametrisierungen verhalten sich singulär, lokale Schnittmultiplikitäten steigen, und die Klassifikation in der Singularitätstheorie (A2-Typ) greift.

Umkehrung

Ein Knoten oder transversales Schneiden ist das Gegenstück: Zweige schneiden sich mit verschiedenen Tangenten und die Singularität ist einfacherer Schnitttyp statt cuspidalem höherem Kontakt.

Abgrenzung

Gilt vor allem für ebene algebraische oder analytische Kurven und für Fragen zur Randregularität; schließt gewöhnliche Ecken, Kreuzungen und Tacnodes höherer Multiplizität aus, die anderen Singularitätsklassen angehören.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Kuspidalpunkt und Eckbegriff in Geometrie und PDE-Regularität: Beide erscheinen 'spitz', besitzen jedoch unterschiedliche analytische Kennzeichen (höherordiges Verschwinden vs. Winkelstörung).

Synthese

Ein Kuspidalpunkt ist eine Spitzensingularität mit höherordentlichem Kontakt, bei der Ableitungen verschwinden und Zweige tangential verschmelzen; es ist ein nichtregulärer Punkt mit starken geometrischen und analytischen Folgen, unterscheidbar von Ecken oder Kreuzungen.