Un point singulier isolé a d'une fonction complexe f où |f(z)|→∞ quand z→a et pour lequel il existe un entier positif m (l'ordre) tel que (z−a)^m f(z) se prolonge analytiquement et non trivialement en a.

Principe

Un pôle d'ordre m se caractérise par une partie principale finie dans la série de Laurent composée d'un nombre fini de puissances négatives jusqu'à (z−a)^{-m} ; la multiplication par la puissance appropriée supprime la singularité.

Démonstration

Exemple : f(z)=1/(z−a)^m a un pôle d'ordre exactement m en z=a ; sa série de Laurent contient les termes c_{−m}(z−a)^{−m}+…+c_{−1}(z−a)^{−1} et pas d'autres puissances négatives.

Mauvaise application

Qualifier de pôle tout point où f devient grand sans vérifier l'isolement ou l'existence d'une partie principale d'ordre fini ; les singularités essentielles peuvent croître sans être des pôles.

Conséquence

Les pôles sont des singularités maîtrisables : on peut calculer les résidus, évaluer des intégrales de contour et classifier le comportement local ; connaître l'ordre renseigne sur le degré de l'application locale.

Inversion

Les classifications opposées sont la singularité amovible (pas de partie principale négative) et la singularité essentielle (queue négative infinie) — la classification en trois cas est exhaustive pour les isolés.

Limite

S'applique aux singularités isolées de fonctions analytiques à valeur unique ; exclut les points de branchement, l'accumulation de pôles (frontières naturelles) et les comportements essentiels non isolés.

Tension sémantique

Tension entre pôles d'ordre élevé et zéros voisins du numérateur qui peuvent annuler l'ordre, et entre pôles et singularités essentielles lorsque l'on compare les taux de croissance — la croissance seule n'est pas décisive.

Synthèse

Un pôle est une singularité isolée présentant une explosion algébrique d'ordre fini décrite par une partie principale de Laurent finie ; il permet le calcul des résidus et une normalisation locale analytique claire.