Un punto singular aislado a de una función compleja f en el que |f(z)|→∞ cuando z→a y para el cual existe un entero positivo m (el orden) tal que (z−a)^m f(z) se extiende analíticamente y no es nula en a.

Principio

Un polo de orden m se caracteriza por una parte principal finita en la expansión de Laurent formada por un número finito de potencias negativas hasta (z−a)^{-m}; multiplicando por la potencia adecuada se elimina la singularidad.

Demostración

Ejemplo: f(z)=1/(z−a)^m tiene un polo de orden exacto m en z=a; su serie de Laurent contiene términos c_{−m}(z−a)^{−m}+…+c_{−1}(z−a)^{−1} y no tiene términos negativos más allá de ese índice.

Aplicación incorrecta

Llamar polo a cualquier punto donde f crece sin comprobar la aislación o la existencia de una parte principal de orden finito; las singularidades esenciales pueden producir crecimiento no acotado sin ser polos.

Consecuencia

Los polos son singularidades manejables: se pueden calcular residuos, evaluar integrales de contorno y clasificar el comportamiento local; conocer el orden informa sobre el grado local de mapeo y propiedades de inversión.

Inversión

Las clasificaciones opuestas son singularidades removibles (sin parte principal negativa) y singularidades esenciales (cola negativa infinita) — la clasificación en tres casos es exhaustiva para aislados.

Límite

Alcanza solo a singularidades aisladas de funciones analíticas de valor único; excluye puntos de ramificación, acumulaciones de polos (fronteras naturales) y comportamientos esenciales no aislados.

Tensión semántica

Tensión entre polos de alto orden y ceros cercanos del numerador que pueden cancelar el orden, y entre polos y singularidades esenciales al comparar tasas de crecimiento — el crecimiento por sí solo no es concluyente.

Síntesis

Un polo es una singularidad aislada con una explosión algebraica de orden finito descrita por una parte principal de Laurent finita; permite el cálculo de residuos y una normalización analítica local clara.