Un point singulier isolé a d'une fonction complexe f tel que f peut être redéfini ou étendu en a de manière à rendre la fonction prolongée analytique (holomorphe) dans un voisinage de a.

Principe

Une singularité est amovible si et seulement si la partie principale de la série de Laurent autour de ce point est nulle (ou, de façon équivalente, si f est bornée au voisinage percé du point ou si la limite de f(z) quand z→a existe) ; l'extension, si elle existe, est unique.

Démonstration

Exemple : f(z)=sin(z)/z présente une singularité en z=0 mais la série de Laurent n'a pas de termes négatifs effectifs après annulation, donc en posant f(0)=1 on obtient un prolongement analytique en 0.

Mauvaise application

Considérer comme amovible tout point isolé où f est bornée le long de certaines suites ; la bornitude le long de suites est insuffisante — il faut la bornitude dans un voisinage percé ou l'annulation de la partie principale.

Conséquence

Bien identifiée, une singularité amovible peut être supprimée pour produire une fonction holomorphe sur un domaine plus grand ; cela préserve la continuation analytique et la résidu est nul au point.

Inversion

L'inversion conduit aux pôles ou aux singularités essentielles : un pôle correspond à une partie principale finie non nulle et une singularité essentielle à une queue infinie de termes négatifs dans la série de Laurent.

Limite

S'applique uniquement aux singularités isolées de fonctions analytiques à valeur unique ; ne concerne pas les points de branchement, les accumulations de singularités ni les comportements multi-valués de type branche.

Tension sémantique

Tension entre « amovible » et comportements apparemment bornés mais non prolongeables, et entre amovible et pôle lorsque la limite est finie ou infinie ; distinguer la bornitude dans un voisinage percé de la bornitude ponctuelle est crucial.

Synthèse

Une singularité amovible est un trou isolé où l'obstruction analytique est seulement définitionnelle : la partie principale de la Laurent est absente, permettant un prolongement holomorphe unique qui restaure la régularité locale.