Ein isolierter Singulärpunkt a einer komplexen Funktion f, an dem f so umdefiniert oder fortgesetzt werden kann, dass die fortgesetzte Funktion in einer Umgebung von a analytisch (holomorph) ist.

Prinzip

Eine Singularität ist genau dann hebbar, wenn der Hauptteil der Laurententwicklung um diesen Punkt verschwindet (äquivalent: f ist in einer gelochten Umgebung beschränkt oder der Grenzwert von f(z) für z→a existiert); die Fortsetzung ist eindeutig.

Demonstration

Beispiel: f(z)=sin(z)/z hat eine Singularität bei z=0, aber die Laurentreihe enthält keine negativen Terme im verbleibenden Hauptteil; durch Setzen von f(0)=1 erhält man eine analytische Fortsetzung in 0.

Fehlanwendung

Zu behaupten, jeder isolierte Punkt, an dem f entlang einiger Folgen beschränkt ist, sei hebbar; Beschränktheit entlang Folgen reicht nicht — es bedarf Beschränktheit in einer gelochten Umgebung oder des verschwindenden Hauptteils.

Konsequenz

Ist eine Singularität korrekt als hebbar klassifiziert, so lässt sie sich entfernen und die Funktion wird auf einem größeren Gebiet holomorph; die analytische Fortsetzung bleibt erhalten und der Residuenwert ist null.

Umkehrung

Die Umkehr sind Pole oder essentielle Singularitäten: Ein Pol zeigt einen echten, endlichen Hauptteil an, eine essentielle Singularität eine unendliche Reihe negativer Potenzen in der Laurentreihe.

Abgrenzung

Gilt nur für isolierte Singularitäten einstufiger (einwertiger) analytischer Funktionen; nicht anwendbar auf Verzweigungspunkte, Anhäufungen von Singularitäten oder mehrwertige Verzweigungsverhalten.

Semantische Spannung

Spannungsfeld zwischen ‚hebbar‘ und scheinbar beschränkten aber nicht fortsetzbaren Verhaltensweisen sowie zwischen hebbar und Pol, wenn Grenzwerte endlich versus unendlich sind; Unterscheidung der Beschränktheit in einer gelochten Umgebung ist essenziell.

Synthese

Eine hebbare Singularität ist eine isolierte Stelle, an der das analytische Hindernis nur ein Definitionsloch ist: der Laurent-Hauptteil fehlt, sodass eine eindeutige holomorphe Fortsetzung die lokale Regularität wiederherstellt.