Famille de résultats d'extension assurant qu'une forme linéaire bornée définie sur un sous-espace d'un espace vectoriel normé réel ou complexe se prolonge au lieu entier sans accroissement de sa norme ; des formulations algébriques équivalentes traitent de prolongements dominés par une fonction souslinéaire.

Principe

Si une forme linéaire sur un sous-espace est dominée par une fonction souslinéaire continue (ou est bornée), alors il existe un prolongement à tout l'espace qui conserve la linéarité et la domination (et donc la norme).

Démonstration

Dans un espace normé X, pour une forme linéaire continue f sur un sous-espace Y avec ||f|| = c, Hahn-Banach fournit F sur X telle que F|_Y = f et ||F|| = c ; géométriquement, cela produit des formes linéaires séparant un point d'un ensemble convexe fermé.

Mauvaise application

Supposer que Hahn-Banach donne des prolongements constructifs ou canoniques, ou qu'il prolonge des applications non linéaires ; l'utiliser pour prolonger des opérateurs bornés entre espaces (alors qu'il concerne les formes) sans conditions supplémentaires est erroné.

Conséquence

Un dual riche : existence de formes linéaires continues non triviales, séparation par hyperplans d'ensembles convexes, identification et étude des duaux et de la réflexivité, et de nombreuses techniques d'analyse fonctionnelle dépendant de l'abondance de formes linéaires.

Inversion

La situation inverse serait une théorie où les formes linéaires bornées sur un sous-espace ne peuvent en général être prolongées sur tout l'espace sans changer de norme, conduisant à peu de formes séparatrices et à une structure duale plus faible.

Limite

S'applique aux espaces vectoriels réels ou complexes munis de fonctions souslinéaires dominantes ou dans le cadre des espaces normés ; certaines démonstrations utilisent l'axiome du choix (lemme de Zorn) et les prolongements constructifs peuvent échouer ; il n'étend pas les applications non linéaires ni les opérateurs généraux.

Tension sémantique

Tension entre formulations algébriques (Hahn-Banach pour formes linéaires et fonctions souslinéaires) et topologiques (prolongements préservant la norme) ; on confond parfois le prolongement de formes avec celui d'opérateurs ou avec des formules explicites constructives.

Synthèse

Hahn-Banach unit la domination algébrique par des fonctions souslinéaires et la bornitude topologique pour fournir des prolongements préservant la norme des formes linéaires, permettant la séparation et la construction du dual au cœur de l'analyse fonctionnelle.