Conjunto de resultados de extensión que garantizan que un funcional lineal acotado definido en un subespacio de un espacio normado real o complejo puede extenderse a todo el espacio sin aumentar su norma; formas algebraicas equivalentes tratan extensiones dominadas por una funcional sublineal.

Principio

Si un funcional lineal en un subespacio está dominado por una función sublineal continua (o es acotado), entonces existe una extensión al espacio entero que preserva la linealidad y la dominación (y por tanto la norma).

Demostración

En un espacio normado X, dado un funcional lineal continuo f en un subespacio Y con ||f|| = c, Hahn-Banach produce F en X con F|_Y = f y ||F|| = c; geométricamente da lugar a funcionales lineales que separan puntos de conjuntos convexos cerrados.

Aplicación incorrecta

Suponer que Hahn-Banach proporciona extensiones constructivas o canónicas, o que extiende aplicaciones no lineales; emplearlo para extender operadores lineales acotados entre espacios (cuando se aplica a funcionales) sin condiciones extra es incorrecto.

Consecuencia

Un espacio dual abundante: existencia de funcionales lineales continuos no triviales, separación por hiperplanos de conjuntos convexos, caracterización y estudio de duales y reflexividad, y muchas técnicas de análisis funcional que dependen de la disponibilidad de funcionales lineales.

Inversión

La situación inversa sería una teoría en la que los funcionales lineales acotados en un subespacio no pueden, en general, extenderse al espacio total sin cambiar la norma, resultando en pocos funcionales separadores y una estructura dual más débil.

Límite

Se aplica a espacios vectoriales reales o complejos con funciones sublineales dominantes o en el marco de espacios normados; algunas demostraciones usan el axioma de elección (lema de Zorn) y las extensiones constructivas pueden fallar; no extiende aplicaciones no lineales ni operadores generales.

Tensión semántica

Tensión entre la formulación algebraica (Hahn-Banach para formas lineales y funciones sublineales) y la formulación topológica (extensión que preserva la norma); a veces se confunde la extensión de funcionales con la de operadores o se espera una fórmula constructiva explícita.

Síntesis

Hahn-Banach une la dominación algebraica por funciones sublineales y la acotación topológica para producir extensiones que preservan la norma de funcionales lineales, habilitando separación y construcciones del dual esenciales en el análisis funcional.