Eine Familie von Erweiterungssätzen, die garantieren, dass ein beschränkter linearer Funktional auf einem Unterraum eines reellen oder komplexen normierten Vektorraums auf den ganzen Raum ohne Normzuwachs fortgesetzt werden kann; äquivalente algebraische Formen behandeln Erweiterung unter Dominanz durch eine sublineare Funktion.

Prinzip

Ist ein lineares Funktional auf einem Unterraum durch eine sublineare Funktion (oder ist es beschränkt), so existiert eine Erweiterung auf den gesamten Raum, die Linearität und die Dominanz (und damit die Norm) erhält.

Demonstration

In einem normierten Raum X und einem stetigen linearen Funktional f auf einem Unterraum Y mit ||f|| = c liefert Hahn-Banach ein F auf X mit F|_Y = f und ||F|| = c; geometrisch ergibt dies lineare Funktionale, die Punkte von abgeschlossenen konvexen Mengen trennen.

Fehlanwendung

Die Annahme, Hahn-Banach liefere konstruktive oder kanonische Erweiterungen, oder dass beliebige nichtlineare Abbildungen erweitert werden können; ebenso falsch ist die Anwendung auf die Erweiterung beschränkter linearer Operatoren ohne zusätzliche Voraussetzungen.

Konsequenz

Ein reichhaltiger Dualraum: Existenz nichttrivialer stetiger linearer Funktionale, Trennung konvexer Mengen durch Hyperebenen, Charakterisierung von Dualräumen und Reflexivität sowie viele funktionalanalytische Techniken, die auf der Fülle linearer Funktionale beruhen.

Umkehrung

Die Umkehr wäre eine Theorie, in der beschränkte lineare Funktionale auf Unterräumen im Allgemeinen nicht ohne Normänderung auf den ganzen Raum erweitert werden können, was zu wenigen trennenden Funktionalen und schwächerer Dualstruktur führen würde.

Abgrenzung

Gilt für reelle oder komplexe Vektorräume mit sublinearen dominierenden Funktionen bzw. im Rahmen normierter Räume; einige Beweise verwenden das Auswahlaxiom (Zorns Lemma) und konstruktive Erweiterungen können fehlen; es erweitert keine nichtlinearen Abbildungen oder allgemeinen Operatoren.

Semantische Spannung

Spannung zwischen algebraischer (Hahn-Banach für lineare Formen und sublineare Funktionen) und topologischer Sichtweise (normerhaltende Erweiterung); man verwechselt manchmal die Erweiterung von Funktionalen mit der von Operatoren oder erwartet explizite konstruktive Formeln.

Synthese

Hahn-Banach verbindet algebraische Dominanz durch sublineare Funktionen mit topologischer Beschränktheit, um normerhaltende Erweiterungen linearer Funktionale zu liefern und so Trennungsergebnisse und Dualraumkonstruktionen im Zentrum der Funktionalanalysis zu ermöglichen.