Aussi appelé théorème de Banach–Steinhaus : pour une famille d'opérateurs linéaires continus d'un espace de Banach X vers un espace normé Y, si la famille est bornée point par point (pour chaque x∈X la borne supérieure des ||T x|| est finie) alors les normes d'opérateur sont uniformément bornées (la sup des ||T|| est finie).

Principe

Un contrôle point par point sur un domaine non maigre dans un cadre complet (Banach), combiné à un argument de catégorie de Baire, impose une borne globale uniforme sur les normes d'opérateurs ; la bornitude locale se propage en bornitude uniforme grâce à la complétude.

Démonstration

Soit {T_n} une famille d'opérateurs linéaires continus X→Y. Si pour chaque x dans X la suite {T_n x} est bornée dans Y, le principe fournit M tel que ||T_n|| ≤ M pour tout n. La preuve par contradiction utilise des ensembles {x : ||T_n x|| ≤ k}, la catégorie de Baire et la complétude de X pour extraire une boule sur laquelle la famille est uniformément bornée.

Mauvaise application

Appliquer le résultat à des familles de fonctions non linéaires, à des opérateurs entre espaces normés non complets, ou déduire une bornitude uniforme à partir de conditions pointuelles trop faibles : la linéarité et la complétude (espace de Banach) sont des hypothèses essentielles.

Conséquence

Constitue un outil clé pour déduire des bornes uniformes d'opérateurs à partir d'informations apparemment plus faibles point par point ; essentiel en analyse fonctionnelle pour établir des résultats d'existence et écarter des familles pathologiques non bornées sous contrôle pointuel.

Inversion

Si une famille d'opérateurs n'est pas uniformément bornée, il existe au moins un point où la famille est non bornée point par point ; l'absence de bornitude uniforme se manifeste par une divergence sur un ensemble dense ou le long d'une suite de points.

Limite

Exige des opérateurs linéaires et un domaine espace de Banach (complétude). Le théorème ne vaut pas en général pour des familles de mappages non linéaires ni pour des domaines dépourvus de la propriété de Baire.

Tension sémantique

Se rapproche mais diffère des théorèmes d'application ouverte et du graphe fermé : ces trois résultats sont fondamentaux en théorie des espaces de Banach avec des hypothèses et des conclusions distinctes — la borne uniforme traduit la bornitude point par point en contrôle uniforme des normes, tandis que les autres traitent de la surjectivité et de la clôture.

Synthèse

Le principe de borne uniforme transforme la bornitude point par point d'une famille d'opérateurs linéaires continus sur un espace de Banach en une borne globale unique sur leurs normes d'opérateur, s'appuyant sur la complétude et des arguments de catégorie pour convertir un contrôle local en contrôle uniforme.