Auch Banach–Steinhaus-Theorem genannt: für eine Familie stetiger linearer Operatoren von einem Banachraum X in einen normierten Raum Y gilt: ist die Familie punktweise beschränkt (für jedes x∈X ist sup_n ||T_n x|| < ∞), so sind die Operatornormen gleichmäßig beschränkt (sup_n ||T_n|| < ∞).

Prinzip

Punktweise Kontrolle auf einer nicht-meageren Menge im vollständigen (Banach-)Rahmen zusammen mit einem Kategorieargument nach Baire erzwingt eine globale gleichmäßige Schranke für die Operatornormen; Vollständigkeit lässt lokale Schranken zu einer globalen werden.

Demonstration

Sei {T_n} eine Familie linearer stetiger Operatoren X→Y. Wenn für jedes x in X die Folge {T_n x} in Y beschränkt ist, liefert das Prinzip ein M mit ||T_n|| ≤ M für alle n. Der Widerspruchsbeweis verwendet Mengen {x : ||T_n x|| ≤ k}, den Baire-Kategorie-Satz und die Vollständigkeit von X, um eine Kugel zu finden, auf der die Familie gleichmäßig beschränkt ist.

Fehlanwendung

Anwendung auf nichtlineare Abbildungen, auf Operatoren zwischen nicht-vollständigen normierten Räumen oder die Folgerung von Gleichmäßiger Beschränktheit aus zu schwachen punktweisen Bedingungen ist falsch: Linearität und Vollständigkeit sind essentielle Voraussetzungen.

Konsequenz

Stellt ein zentrales Werkzeug dar, um aus scheinbar schwächerer punktweiser Beschränktheit eine einheitliche Schranke für Operatoren zu schließen; wichtig in der Funktionalanalysis zur Herleitung von Existenzresultaten und zum Ausschluss pathologischer, nicht beschränkter Familien.

Umkehrung

Wenn eine Operatorenfamilie nicht gleichmäßig beschränkt ist, dann existiert mindestens ein Punkt, an dem die Familie punktweise unbeschränkt ist; das Fehlen gleichmäßiger Beschränktheit äußert sich als Divergenz auf einer dichten Menge oder entlang einer Folge von Punkten.

Abgrenzung

Voraussetzung sind lineare Operatoren und ein Banachraum als Definitionsbereich (Vollständigkeit). Der Satz gilt nicht allgemein für Familien nichtlinearer Abbildungen oder für Bereiche ohne Baire-Eigenschaft.

Semantische Spannung

Bezug und Unterschied zu offenen Abbildungs- und abgeschlossenen Graphen-Sätzen: alle drei sind Grundpfeiler der Banachraumtheorie mit unterschiedlichen Voraussetzungen und Folgerungen — das Uniform Boundedness Principle übersetzt punktweise Beschränktheit in Normkontrolle, die anderen behandeln Surjektivität bzw. Geschlossenheit.

Synthese

Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit wandelt punktweise Beschränktheit einer Familie stetiger linearer Operatoren auf einem Banachraum in eine einheitliche Normschranke um, wobei Vollständigkeit und Kategorieargumente lokales Verhalten in globales Verhalten überführen.