También llamado teorema de Banach–Steinhaus: para una familia de operadores lineales continuos de un espacio de Banach X a un espacio normado Y, si la familia es acotada punto por punto (para cada x en X el supremo de ||T x|| es finito) entonces las normas de los operadores están acotadas uniformemente (supremo de ||T|| es finito).

Principio

El control punto por punto en un dominio no magro dentro de un marco completo (Banach), combinado con un argumento de categoría de Baire, impone una cota global uniforme sobre las normas de los operadores; la acotación local se propaga a acotación uniforme gracias a la completitud.

Demostración

Sea {T_n} una familia de operadores lineales continuos X→Y. Si para cada x en X la sucesión {T_n x} está acotada en Y, el principio proporciona M con ||T_n|| ≤ M para todo n. La prueba por contradicción usa conjuntos {x : ||T_n x|| ≤ k}, la categoría de Baire y la completitud de X para extraer una bola sobre la cual la familia es uniformemente acotada.

Aplicación incorrecta

Aplicar el resultado a familias de mapas no lineales, a operadores entre espacios normados no completos, o asumir acotación uniforme a partir de condiciones punto por punto demasiado débiles: la linealidad y la completitud (espacio de Banach) son hipótesis esenciales.

Consecuencia

Proporciona una herramienta clave para deducir cotas uniformes de operadores a partir de información aparentemente más débil punto por punto y es central en análisis funcional para probar resultados de existencia y descartar familias patológicas no acotadas bajo control puntual.

Inversión

Si una familia de operadores no es uniformemente acotada, existe al menos un punto donde la familia es no acotada punto por punto; la falta de acotación uniforme se manifiesta como divergencia en un conjunto denso o a lo largo de una sucesión de puntos.

Límite

Requiere operadores lineales y un dominio que sea un espacio de Banach (completitud). El teorema no se cumple en general para familias de aplicaciones no lineales ni para dominios que carezcan de la propiedad de Baire.

Tensión semántica

Se relaciona con, pero difiere de, los teoremas del mapeo abierto y del gráfico cerrado: los tres son pilares de la teoría de espacios de Banach con hipótesis y conclusiones distintas — el principio traduce acotación punto por punto en control uniforme de la norma, mientras que los otros abordan sobreyectividad y clausura.

Síntesis

El Principio de Acotación Uniforme convierte la acotación punto por punto de una familia de operadores lineales continuos en una cota global única sobre sus normas, aprovechando la completitud y argumentos de categoría para transformar control local en control uniforme.