Dans l'espace euclidien : toute suite bornée admet une sous-suite convergente ; équivalemment, tout ensemble infini borné possède au moins un point d'accumulation.

Principe

La bornitude impose une récurrence ou une accumulation en dimension finie : les suites infinies ne peuvent pas s'échapper vers l'infini et doivent se regrouper autour d'un point.

Démonstration

Une suite dans [0,1] admet une sous-suite convergente en bisectant à répétition les intervalles contenant une infinité de termes (argument des intervalles emboîtés). En R^n, on projette sur les coordonnées pour extraire des sous-suites convergentes coordonnée par coordonnée puis on combine pour obtenir une sous-suite convergente dans R^n.

Mauvaise application

Prétendre la propriété dans des espaces de dimension infinie ou des topologies non métriques : dans de nombreux espaces de Banach de dimension infinie, des suites bornées n'admettent pas de sous-suites convergentes, la généralisation exige des hypothèses de compacité supplémentaires.

Conséquence

Fournit un critère de compacité pour les suites, soutient les preuves du théorème de Heine-Borel et de nombreux arguments de compacité, et garantit l'existence de limites pour des sous-suites dans des cadres bornés.

Inversion

L'idée inverse est que si toute suite bornée admet une sous-suite convergente alors l'espace est séquentiellement compact ; toutefois, la compacité séquentielle peut différer de la compacité dans des espaces non métriques.

Limite

S'applique à R^n et, plus généralement, aux espaces métriques où compacité et compacité séquentielle coïncident ; ne s'applique pas aux espaces vectoriels topologiques quelconques ni aux suites en dimension infinie sans structure supplémentaire.

Tension sémantique

Tension avec la complétude et le comportement des suites de Cauchy : Bolzano-Weierstrass porte sur les limites de sous-suites de suites bornées, tandis que la complétude garantit la convergence des suites de Cauchy ; ces propriétés interagissent mais restent distinctes.

Synthèse

Le théorème formalise le fait en dimension finie que la bornitude force l'existence de points d'accumulation : toute suite bornée de R^n possède une sous-suite convergente, fondement de l'analyse séquentielle.