En el espacio euclidiano: toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente; equivalentemente, todo subconjunto infinito acotado posee al menos un punto de acumulación.

Principio

La acotación obliga a la recurrencia o acumulación en espacios métricos de dimensión finita, de modo que las sucesiones infinitas no pueden escapar al infinito y deben agruparse en algún punto.

Demostración

Una sucesión en [0,1] tiene una subsucesión convergente mediante la bisectriz iterada del intervalo que contiene infinitos términos (argumento de intervalos anidados). En R^n, se proyecta sobre coordenadas para extraer subsucesiones convergentes coordenada a coordenada y combinarlas para obtener una subsucesión convergente en R^n.

Aplicación incorrecta

Asumir la propiedad en espacios de dimensión infinita o en topologías no métricas lleva a error: en muchos espacios de Banach infinitodimensionales las sucesiones acotadas no tienen por qué tener subsucesiones convergentes; se requieren hipótesis adicionales de compacidad.

Consecuencia

Aporta un criterio básico de compacidad para sucesiones, sustenta demostraciones del teorema de Heine-Borel y muchos argumentos de compacidad, y garantiza la existencia de límites para subsucesiones en contextos acotados.

Inversión

La conversión es que si toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente, el espacio es secuencialmente compacto; no obstante, la compacidad secuencial puede diferir de la compacidad en espacios no métricos.

Límite

Se aplica a R^n y, en general, a espacios métricos donde la compacidad y la compacidad secuencial coinciden; no rige en espacios vectoriales topológicos arbitrarios ni para sucesiones en dimensiones infinitas sin estructura adicional.

Tensión semántica

Tensión con la completitud y el comportamiento de las sucesiones de Cauchy: Bolzano-Weierstrass trata sobre límites de subsucesiones de sucesiones acotadas, mientras que la completitud garantiza la convergencia de sucesiones de Cauchy; ambos interactúan pero son distintos.

Síntesis

El teorema formaliza el hecho de dimensión finita de que la acotación impone la existencia de puntos de acumulación: cualquier sucesión acotada en R^n admite una subsucesión convergente, piedra angular del análisis secuencial.