Im euklidischen Raum: jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge; äquivalent: jede unendliche beschränkte Teilmenge hat einen Häufungspunkt.

Prinzip

Beschränktheit erzwingt Rekurrenz oder Akkumulation in endlichdimensionalen metrischen Räumen, sodass unendliche Folgen nicht ins Unendliche entweichen und sich an einem Punkt häufen müssen.

Demonstration

Eine Folge in [0,1] besitzt eine konvergente Teilfolge durch wiederholtes Halbieren des Intervalls, das unendlich viele Folgenglieder enthält (Argument der verschachtelten Intervalle). In R^n projiziert man auf Koordinaten, wählt konvergente Teilfolgen für jede Koordinate und gewinnt so eine konvergente Teilfolge in R^n.

Fehlanwendung

Die Eigenschaft irrtümlich auf unendlichdimensionale Räume oder nicht-metrische Topologien übertragen: in vielen unendlichdimensionalen Banachräumen brauchen beschränkte Folgen keine konvergenten Teilfolgen zu besitzen; zusätzliche Kompaktheitsannahmen sind nötig.

Konsequenz

Lieferte ein grundlegendes Kriterium für Folgenkompaktheit, stützt Beweise des Heine-Borel-Satzes und vieler Kompaktheitsargumente und sichert die Existenz von Grenzwerten für Teilfolgen in beschränkten Situationen.

Umkehrung

Die Umkehrung lautet: besitzt jeder beschränkten Folge eine konvergente Teilfolge, so ist der Raum folgensequentiell kompakt; folgensequentielle Kompaktheit kann jedoch in nicht-metrischen Räumen von Kompaktheit abweichen.

Abgrenzung

Gilt für R^n und allgemein für metrische Räume, in denen Kompaktheit und Folgenkompaktheit zusammenfallen; gilt nicht in beliebigen topologischen Vektorräumen oder für Folgen in unendlichdimensionalen Umgebungen ohne weitere Struktur.

Semantische Spannung

Spannung gegenüber Vollständigkeit und dem Verhalten von Cauchy-Folgen: Bolzano-Weierstrass behandelt Teilfolgenkonvergenz beschränkter Folgen, während Vollständigkeit die Konvergenz von Cauchy-Folgen garantiert; beide Konzepte sind verwandt, aber unterschiedlich.

Synthese

Der Satz fasst zusammen, dass in endlichdimensionalen Räumen Beschränktheit die Existenz von Häufungspunkten erzwingt: jede beschränkte Folge in R^n besitzt eine konvergente Teilfolge, eine fundamentale Aussage der sequentiellen Analysis.