Théorème affirmant que si une fonction est continue sur [a,b] et différentiable sur (a,b), alors il existe c∈(a,b) tel que f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a), reliant le taux de variation moyen à une dérivée instantanée.

Principe

Relier les accroissements globaux à la dérivée locale par un résultat d'existence (dérivable souvent de Rolle) : la dérivée en un point intérieur coïncide avec la pente de la sécante sur l'intervalle, connectant comportement local et global.

Démonstration

Pour f(x)=x^2 sur [1,3], le taux moyen (f(3)-f(1))/(3-1)=(9-1)/2=4, et il existe c avec f'(c)=2c=4, à savoir c=2, illustrant le théorème.

Mauvaise application

Appliquer le théorème sans différentiabilité sur l'intervalle ouvert ou en traitant mal les points extrêmes (par ex. supposer l'existence de la dérivée aux extrémités), ou l'utiliser pour des cuspides non différentiables.

Conséquence

Fournit des estimations d'erreur, justifie les développements de Taylor avec reste, sous-tend des résultats d'unicité (si f'=0 alors f est constante) et donne des bornes des accroissements via le supremum des dérivées.

Inversion

Sans différentiabilité la conclusion peut échouer, mais des versions généralisées (théorème des accroissements finis de Cauchy ou résultats de type Darboux) remplacent parfois les hypothèses ; inversement l'existence d'un tel c n'entraîne pas seule la monotonicité globale.

Limite

Nécessite la continuité sur l'intervalle fermé et la différentiabilité sur l'intervalle ouvert ; ne s'applique pas aux fonctions avec points non différentiables à l'intérieur, aux applications entre espaces de Banach sans notion adaptée de dérivée, ni aux extrémités sans dérivées directionnelles.

Tension sémantique

Tension avec le théorème des accroissements finis de Cauchy et avec Taylor : la forme de Cauchy compare deux fonctions et donne un rapport de dérivées, tandis que Taylor fournit des approximations locales d'ordre supérieur ; le choix dépend de la régularité disponible et de l'estimation souhaitée.

Synthèse

Le théorème des accroissements finis identifie un point où le taux instantané égalise le taux moyen sur un intervalle, reliant l'information différentielle aux différences finies et constituant une pierre angulaire pour estimations, unicité et généralisations.